Taller

Cap. 1 Cinemática de la Partícula

Pág. 1-1

Cap. 1 Cinemática de la partícula
1.1 Definiciones
•

Cinemática: es el estudio de la geometría del movimiento sin importar las causas que lo
producen.

•

Movimiento: cambio de posición respecto a un sistema de referencia (fijo o móvil).

•

Partícula: elemento con masa pero sin dimensiones.

1.2 Posición, velocidad y aceleración encoordenadas cartesianas
En la figura 1-1 se muestra una partícula P que se mueve a lo largo de la curva trayectoria
C. Su posición quedará determinada para cada instante del movimiento si conocemos el
vector posición de tal manera que sus tres componentes están representadas como
funciones del tiempo:

(

r
r (t ) = x(t ) , y (t ) , z (t )

)

(1.1)

Es decir, las componentescartesianas del vector posición están determinadas por las
ecuaciones:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

x = x (t )
y = y (t )

(1.2)

z = z (t )

las cuales se denominan ecuaciones paramétricas del movimiento.

P

Trayectoria

y

O
z

C

r
r

x
Fig. 1-1

Como veremos más adelante, conociendo las ecuaciones paramétricas del movimiento de
una partícula, será relativamente fácil encontrar lasexpresiones de su velocidad y
aceleración como funciones del tiempo.

Pontificia Universidad Católica del Perú

Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño

Cap. 1 Cinemática de la Partícula

Pág. 1-2
z

Ejemplo 1.1: Una partícula se mueve a lo largo de una hélice
cilíndrica de tal manera que su movimiento está
definido por el vector posición:
r
r (t ) = (a cos ω0 t , a sen ω0 t , k t )

a

donde a [m], ω0 [rad/s] y k [m/s] son constantes
p

Es decir:
x(t ) = a cos ω 0 t
y (t ) = a sen ω 0 t
z (t ) = k t

⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

Ecuaciones paramétricas
del movimiento

O
x

y
Fig. 1-2

Observar que la trayectoria helicoidal tiene radio a y la partícula da una vuelta completa en
el tiempo T = 2 π / ω0 . Al dar una vuelta completa la partícula ascenderáuna distancia p
que se denomina paso de la hélice ( p = k 2 π / ω 0 ).
Tomemos un movimiento con las siguientes características:
r
r (t ) = (0,5 cos1,5 t ; 0,5 sen1,5 t ; 0,2 t ) , t en [s], x, y y z en [m].
Si deseamos saber la posición de la partícula en el instante t = 2 s, entonces:

x = 0,5 cos (1,5 ⋅ 2) = − 0,495 [m]
y = 0,5 sen (1,5 ⋅ 2) = 0,071 [m]
z = 0,2 ⋅ 2 = 0,4 [m]
•Velocidad: es el cambio del vector posición por unidad de tiempo.

En la siguiente figura se muestran dos posiciones muy cercanas para la partícula P durante
su movimiento. Entre ambas posiciones ha transcurrido un tiempo ∆ t . El cambio de
r
posición está representado por el vector ∆ r . Entonces, la velocidad instantánea de la
partícula será:
r
r
∆r
P
r r
r
v (t ) = lim
∆r = r (t + ∆t )− r (t )
∆ t →0 ∆ t
r
r
r
r (t + ∆t ) − r (t )
v (t ) = lim
∆ t →0
∆t

r
r (t )
r
r (t + ∆t )

Trayectoria

O

Fig. 1-3

→
C

r
r
d r
&
v (t ) =
r (t ) = r (t )
dt

(1.3)

Se ve claramente que la velocidad es un
vector tangente a la trayectoria. Así el vector
velocidad tendrá siempre la forma:

r
ˆ
ˆ
v (t ) = v(t ) et donde et es el vector unitariotangencial a la trayectoria.

Pontificia Universidad Católica del Perú

Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño

Cap. 1 Cinemática de la Partícula

Pág. 1-3

En coordenadas cartesianas:

r
&
&
&
v (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) )

(1.4)

Siendo su módulo:

&
&
&
v = x2 + y2 + z2

(1.5)

Ejemplo 1.2: Calcular la velocidad para la partícula del ejemplo 1.1 en elinstante t = 2 s.
r
r (t ) = (0,5 cos1,5 t ; 0,5 sen1,5 t ; 0,2 t ) .

Tenemos que:

La velocidad será:
→

r
d r
d
v (t ) =
r (t ) =
(0,5 cos1,5 t ; 0,5 sen1,5 t ; 0,2 t )
dt
dt
r
v (t ) = ( − 0,75 sen1,5 t ; 0,75 cos1,5 t ; 0,2)

Para t = 2 s:

r
v (t ) = ( − 0,106 ; − 0,743 ; 0,2) m/s

Su módulo será:

&
&
&
v = x 2 + y 2 + z 2 = 0,777 m/s

•

es el cambio del...