tallertrascendentes 12

Universidad del Quind´ıo
Facultad de Ingenier´ıa
C´alculo Integral
Taller 2
1. Utilice el m´etodo de sustituci´
on para calcular
cada una de las siguientes integrales definidas.
1

a)

f)

π
2

c)

x

i ) 3|x|−1 = 9
j)

2
√x +3 dx.
x3 +3x

1

√

h) ln(1 + x) = 1 + ln(1 − x)

0

b)

= −1

g) log5 54 − log5 2 = 2 log5 x − log5

(x2 + 1)10 (2x)dx.

3

ex +e−x
2

k)

1
= 83−2x
2x2
3x + 3−x = 2

l )log3

sin2 (3x) cos(3x)dx.

0

√
√
10x + 5 − log3 3 = log3 x + 1

4. Halle todos los valores de c tales que

π
6

d)
0

sin θ
dθ.
cos3 θ

π
2

e)

ln x = c +
5. Sea f (x) =

x2 sin2 (x3 ) cos(x3 )dx.

− π2
6

f)

(ax + a−x ) si a > 0. Pruebe que:

6. Sea f (x) = ex − 1 − x para todo x. Demuestre
que f (x) ≥ 0 si x ≥ 0 y f (x) ≤ 0 si x ≤ 0.

−2

2. Teniedo en cuenta que

7. Encuentre las derivadasde las siguientes funciones

8
x dx =
3
2

0

1
dt para todo x > 0
t

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y)

√
x2 3 x + 2dx.

2

1
2

x
e

a) f (x) = ln x3 + 1
Calcule cada una de las siguientes integrales
definidas sin usar el teorema fundamental del
c´alculo.
0

a)

2

x2 dx.

c)

−2
2

b)

b) f (x) = ln |tan 4x + sec 4x|
c) f (x) = ln(x2 ln x).
d ) g (x) = (e−x + ex )
a

d)

−2

g) y = sec e2x +e2 sec x

3x2 dx.

h) f (x) = 43x

−2

y

j ) h(x) =

eln x = x

k ) f (x) =

√
a) ln x + 1 = 2
ln e3x
ln 12
e

=

1
2

c) ln 4x + ln x −
ex

3
4

1 + e2x )

3)2−7x

8. Halle dy/dx usando derivaci´on impl´ıcita y logar´ıtmica.

=0

a) y = x2 x2 − 1

ex−1

−1=
√
√
e) ln x + x + 1 = 1

d)

log10 x
x
(x3 +

√

t
l ) f (t) = log10 t+1
√
√
m) g(x) = x + 1 − ln(1 + x + 1)

para resolver las siguientesecuaciones

b)

2

i ) g(x) = ln(ex +

3. Use el hecho que
ln (ex ) = x

x

f ) f (x) = e−x ln x

0

x2 dx.

a

e) f (x) = xa + ax + aa

−x2 dx.

0

3

b) y =
1

x5 (x+2)
x−3

3

(x + 1)4

c) y =

x3 +2x
√
5 7
x +1

√

0
3

1 − x2
d) y =
(x + 1)2/3
e) y =

b)

x2 (3−x)1/3
(1−x)(3+x)2/3

√

π
π
2

2

e)

b)
c)

e)
f)

i)

e2
1
e

j)
1

sin(x)
dx
1+cos2 (x)

e3

k)
e

e2−5x dx

e3x
dx
3x
1 (1 − 2e )√
t2 − 1
−3
g) −2
dt
t3

dx
1 − ex
dx
x
ln x
dx
x
dx
x(ln x)2

π
6

(csc 4x − cot 4x) dx

l)
π
8

f)

2

m)
1

e3/x
dx
x2

14. Calcule la integral, completando el cuadrado
si es necesario. Adem´as verifique la respuesta
mediante derivaci´on cosiderando las integrales
en su forma indefinida.

10. Halle la integral indefinida
d)

dx
dx.
9+x2

1

0
2

donde s pies es la distancia dirigida de lapart´ıcula desde el punto inicial a los t segundos. Calcule la velocidad y la aceleraci´on cuando t = 3

1
√
dx
1+ 2x
3
2x
dx
x2 −4
tan(ln x)
dx
x

h)

x3
dx
x2 +1

d)

s = (t + 1)2 ln (t + 1)

√dx
x2 x2 −16

3

c)

9. Una part´ıcula se mueve sobre una recta de
acuerdo a la ecuaci´
on de movimiento

a)

e

2

a)

x2 −2
x+1 dx
√ln x
dx
x 1+ln x
ln 1−t
1−t dt

2

a)
0

√ dx
(x−1) 9x2 −18x+5

√ dx
−x2 −4xc)
3

d)
2

11. Encuentre las siguientes integrales

b)
0

2
dx
x2 −2x+2

e)

√2x−3 dx
4x−x2
√
x−2
x+1 dx

a)

e2x
ex +3

b)

2
xex −3 dx

c)

e3x e2x dx

a) cosh2 x − sinh2 x = 1

d)

az ln z (ln z + 1) dz

b) sinh(−x) = − sinh(x)

e)

4ln(1/x)
dx
x

c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

f)

5x

g)

log10 x2
dx
x

h)

dx
sin 2x

i)

2−3 sin 2x
cos 2x dx

dx

4 +2x

15. Pruebe cada una delas siguientes propiedades:

d ) tanh(−x) = − tanh(x).

2x3 + 1 dx

16. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones.
a) f (x) = coth 3x
b) f (x) = x cosh x − sinh x
c) g(x) = esinh x

12. Una part´ıcula se mueve sobre una l´ınea recta
de manera que su velocidad en el tiempo t es
e−3t . ¿Si en el tiempo t = 0 la part´ıcula se encuentra en el origen, qu´e distancia recorre en
elintervalo de tiempo [0, 2]?.

d ) f (x) = cosh−1 (3x)
e) f (x) = sinh−1 (tan x)
f ) g(x) =sech−1 (cos 2x), 0 < x <

13. Calcule las siguientes integrales definidas

17. Encuentre las siguientes integrales
2

π
4

a)
b)

√
cosh
√ x dx
x

i)

sinh x
dx
1+sinh2 x
2

j)

c)
d)

cosh x dx
√ 2
dx
x 1+4x2

a)

2 ln x + 1
dx
x[(ln x)2 + ln x]

2 − 3 sin 2x
dx
cos 2x
2x3
dx
x2 − 4

arcsin x
para |x| <...