Talud Infinito

Geotecnia
2015959-02

Trabajo No. 3
Distribución de esfuerzos normales y cortantes

TALUD INFINITO CON FLUJO PARALELO

Suposiciones
* Consolidación unidimensional en el eje v.

Metodología
Como primera medida se debe determinar los esfuerzos que actúan en una partícula infinitesimal del suelo por medio de la teoría de líneas de corriente y líneas equipotenciales debido a que eltalud tiene flujo de agua. Luego mediante análisis geométrico y trigonométrico determinar el diagrama de cuerpo libre para una partícula infinitesimal en el plano v-u para poder aplicar las 15 ecuaciones correspondientes que me permitirán hallar el valor de los esfuerzos iniciales.

Desarrollo



Planteamiento de Ecuaciones generales

Ecuaciones de equilibrio
∂σ´u∂u+∂τvu∂v=-γbsenβ- γwsenβ………………………………………….. (1)
∂σ´u∂u+∂τvu∂v= -senβ( γb+ γw)……………..……………………………….. (2)
∂σ´u∂u+∂τvu∂v= -γtsenβ……………….………………………………………….. (3)
∂τuv∂u+∂σ´v∂v= γbcosβ………………………………………………………………. (4)

Como se supone consolidación unidimensional en dirección del eje v el primer término de cada ecuación se hace cero debido a que no existen deformaciones en el eje u y por ende tampoco existe unincremento de esfuerzos normales en esta dirección.
∂σ´u∂u=0…………………………………………………………………(5)
∂τuv∂u=0……………………………………………………………….. (6)
Entonces las ecuaciones 3 y 4 quedan como derivadas normales, así:
dτvudv= -γtsenβ……………………………………………………………(7)
dσ´vdv= γbcosβ………………………………………………………….….. (8)
Al acomodar las ecuaciones de manera que se puedan integrar, quedan así
dτvu= -γtsenβ dv…………………………………………………………(9)dσ´v= γbcosβ dv…………………………………………………………. (10)

Pero como en el terreno es muy difícil medir distancias en dirección v, se hace la siguiente transformación al eje z el cual es más fácil de medir en terreno.

v=z cosβ………………………………………………………………………. (11)
dv=cosβ dz……………………………………………………..…………….. (12)
Entonces
dτvu= -γtsenβ cosβ dz……………………………………………………. (13)
dσ´v= γbcos2βdz……………………………….…………………………….. (14)
Ahora si al integrar
τvu= -γtz senβ cosβ …………………………………………………….. (15)
σ´v= γbz cos2β ………………………..…………………………………….. (16)
Ecuaciones de compatibilidad
Todos εij=0 menos εv≠0

Ecuaciones constitutivas
εu=1Eσ´u-νσ´y+σ´v=0……………………………………………. (17)
εy=1Eσ´y-νσ´u+σ´v=0…………………………………………….. (18)
Al igualar εu=εy
σ´u-νσ´y+σ´v=σ´y-νσ´u+σ´v………………………………………. (19)
σ´u1+ν=σ´y1+ν……………………………………………….. (20)σ´u=σ´y………………………………………………………………(21)
Siendo así, entonces
1Eσ´u-νσ´y+σ´v=0………………………….………………………..(22)
σ´u-νσ´y+σ´v=0……………..…………………………….………….(23)
σ´u-νσ´u+σ´v=0………………..……………………………………..(24)
σ´u-νσ´u-νσ´v=0………………………………………………………..(25)
σ´u(1-ν)-νσ´v=0………………………..……………………………..(26)
σ´u=ν(1-ν)σ´v………………………………………………………………(27)
σ´u=K0σ´v……………………..………………………………………..(29)
σ´u=K0γbz cos2β …………………………………………………………(30)

Por lo tanto el estado de esfuerzos iniciales es el siguiente:
* τvu=-γtz senβ cosβ
* σ´v= γbz cos2β
* σ´u=σ´y=K0γbz cos2β

El círculo de Mohr Para este estado de esfuerzos se presenta a continuación.

En donde S y T son:

S=σv+σu2………………………………………………………………………..(31)

t=σ´v-σ´u22+τvu2…………………………………..………………………….(32)

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES ALREDEDOR DE UN TÚNEL

Suposiciones
* El túnel no se deforma.
* No existeflujo de agua.

Metodología
Como primera medida se debe determinar geométrica y trigonométricamente una ecuación que me representa la profundidad de cada punto de la circunferencia del túnel para poderla reemplazar en las ecuaciones de estados de esfuerzos.

Desarrollo

Donde z es:
z=zo+rcosθtanβ-sinθ…………………………………………..…….(33)
Por la identidad trigonométrica
sinβ-θ=senβcosθ- cosβsenθ……………..…………………………..(34)
Se tiene que:
z=zo+rsinβ-θcosβ…………………….……………………………………(35)

Por ejercicio resuelto en clase sobre talud infinito sin flujo se sabe que el estado de esfuerzos de cualquier punto debajo del talud es el siguiente:
σ'=σ (Debido a que no hay agua), entonces:
σ´v= γz cos2β...