Tarea Estadística

Problema 1.
Parte i.


(1.1)
Para al menos un valor de comprendido entre y Además, podemos suponer que es una función continua en el intérvalo cerrado , pues es integrable.
Por ser continua en el intérvalo , debe tener un valor máximo en M y mínimo en m tal que:



(12)
Por propiedades de las integrales definidas (Anexo 1), se establece que:


(1.3)
Dividiendo la ecuación1.3 por (b-a) se obtiene:


(1.4)
Definiendo y en la ecuación 1.4 tal que :



(1.5)
Aplicando el Teorema del Valor Intermedio (Anexo 2) se establece que debe existir al menos un punto :


(1.6)
Donde


(1.7)
Al ser un valor entre , definimos que tal que


(1.8)
Por lo que podemos concluir que existe al menos un valor que cumple que:
C

(1.9)


(1.10)

Dejandodemostrado así el teorema.

Parte ii
Calculando la derivada de :



(1.9)


(2.2)
Por lo tanto, como :


(2.3)


(2.4)
Cuando



Entonces, aplicando límite cuando


(2.5)

Por lo tanto, según la expresión anterior que corresponde a la definición de derivada se comprueba que:




Parte iii


(3.1)




Sea por lo tanto, factorizamos por la constante ½, ysustituimos por la variable u:


(3.2)

Sustituimos nuevamente, y , y nos queda la integral:


(3.3)
Ahora sustituimos y . Multi-plicando por la constante 2, y sustituyendo por la nueva variable p, nos queda:


(3.4)
Utilizando fracciones parciales:


(3.5)
Integrando cada término de la integral con respecto a p y factorizando por la constante 1/2:


(3.6)
Nuevamente sustituimos: yy también y


(3.7)
Integrando:


(3.8)
Reemplazando las variables por su valor original


(3.9)


(3.10)




(3.11)


(3.12)


(3.13)
Ahora, reemplazando los límites de integración ln(x) y 0 en todos los términos:


(3.14)
Obteniendo los resultados de cada término luego de reemplazar por sus límites, y reordenando, nos queda:


(3.15)
Separando la constante ½e ingresando a la integral el (x-1), para comenzar a trabajar la segunda integral, ahora con respecto a x:


(3.16)
Por linealidad de la integral, separamos:


(3.17)
Y resolvemos, en primer lugar, separando las constantes de cada integral:


(3.18)


(3.19)

La resolución paso a paso se encuentra en el anexo 3. A continuación se presentan los resultados finales:


(3.20)Recordemos que se debe reemplazar por los límites 2 y 1, esto lo representamos a continuación:


(3.21)



(3.22)


(3.23)


(3.24)

Parte iv.
Supuesto: .Visualizando la función (Anexo 5) se observa que los límites se pueden definir:


(4.1)


(4.2)


(4.3)
Definiendo límites y orden de integración


(4.4)
Derivando (desarrollo completo en Anexo 4):



(4.5)(4.6)


(4.7)


(4.8)


(4.9)


(4.10)


(4.11)

Se sustituye



(4.12)

Pregunta 2
Parte i.
Lo que se busca es determinar las distancias de todos los distritos respecto a Karanese (Kara es para abreviación) algunas distancias deben ser calculadas con la metodología de Longitud de Arco y otras son calculadas mediante teorema de Pitágoras (Referencias en Anexo 5)
Lalongitud de arco es un método para obtener distancias dentro de una circunferencia bajo ciertas restricciones tales como que la función sea derivable, y que también sus derivadas sean continua entre [a,b], esto mediante la siguiente integral:

(2.1.1)
Los resultados fueron los siguientes:
Dist
Chlorba
Trost
Nedlay
Yalkell
Hermiha
Stohess
Kara
Chl.
-
-
-
-
-
-
-
Tros
596,90
-
--
-
-
-
Ned.
596,90
760,00
-
-
-
-
-
Yal.
130,00
454,86
454,86
-
-
-
-
Her.
454,86
130,00
630,00
392,70
-
-
-
Sto.
630,00
454,86
454,86
500,00
392,70
-
-
Kara.
760,00
596,90
596,90
630,00
454,86
130,00
-

Parte ii.
Supuesto: Según el enunciado se pide el mínimo de costos para el transporte de soldados de los distintos distritos a la Ciudad de...