tarea examen

Cálculo Diferencial e Integral III Parcial 5

1 de noviembre de 2014

1. Sean F, f : A = (a, b) × (c − r, d + r) ⊂ R2 → R, con r > 0,tales que F es de clase C 2 en A y
f (x, y) = ∂F (x, y) para toda (x, y) ∈ A. Si definimos h : (a, b) → R como
d
]
h (x) =

c

Pruebe que h es derivable en (a, b) y que además


f (x,y)dy

d
]
h (x) =

c


∂f
(x, y)dy
∂x
para toda x ∈ (a, b). Sugerencia: Calcule por separado cada miembro de la igualdad que se quiere probar. No es necesario pasar por ladefinición de derivabilidad de h.

2. Sea P : Rn → R un polinomio de grado k ≥ 1, con la propiedad de que para toda xˆ ∈ Rn y toda λ ∈ R, P (λxˆ) = λk P (xˆ). Note que todos los términos de Pson de grado k, es decir, cada término de P es de la forma xr1 xr2 ··· xrn ; en donde, para toda i = 1,.. ., n, ri ≥ 0 y r1 + ··· + rn = k.
1 2 n

Sean f : R → R de clase C men R y g = f ◦ P : Rn → R. Demuestre que para cada 1 ≤ r ≤ m se cumple que
Pkr,g,ˆ0 (xˆ) = Pr,f,0 (P (xˆ))



Sugerencia: Por la unicidad del polinomio de Taylor es suficiente demostrarque
g (xˆ) − Pr,f,0 (P (xˆ))
lim
xˆ ˆ0
= 0
nxˆn

kr
Utilice la hipótesis sobre P para demostrar que existe M > 0 tal que para toda xˆ ∈ Rn, |P (xˆ)|r ≤ M nxˆn . Para xˆ ∈ Rn tal que P(xˆ) = 0 se tiene que
g (xˆ) − Pr,f,0 (P (xˆ))
kr =
nxˆn

f (P (xˆ)) − Pr,f,0 (P (xˆ)) [P (xˆ)]r ·
[P (xˆ)]r
nxˆn

3. Sea f (x, y, z) = x2 + 4y2 + z2 +xz + (x2 + y2 + z2) cos(xyz).

a) Demuestre que H (x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 2z2 + xz es el polinomio de Taylor de grado 2 de f alrededor del (0, 0, 0).
b) Muestre (sin hacer cálculos) que el (0,0, 0) es un punto crítico de f .
c) Determine si (0, 0, 0) es máximo local, mínimo local o punto silla. Justifique su respuesta.

4. Encuentra los valores máximos y mínimos de la función f...