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Funciones de Dos Variables.
Es la regla de correspondencia en donde se le asigna a cada pareja de números reales (x,y) únicamente un número real z.
El conjunto de dichas parejas ordenadas (x,y) para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. Mientras que el conjunto de valores z o la f(x,y) que corresponden a los pares ordenados se llama imagen ocontradominio.
Es decir I = f(x,y); imagen de la función, (x,y)∈ D; pertenecen al dominio de la función.
Una función de dos variables se denota usualmente con z = f (x, y).
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. 
Estás funciones se pueden describir de tres formas:
•Numéricamente: por medio de una tabla de valores.
•Algebraicamente: Por unafórmula explícita.
•Visualmente: Por medio de una gráfica o por medio de curvas de nivel:

La gráfica de la función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). Este conjunto de puntos coordenados forman una superficie en el espacio tridimensional.

Líneas o curvas de nivel: Si tenemos una función de dos variablesdada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, es decir "al mismo nivel" sobre el plano xy.


Derivada  parcial.

La derivada de una función de unavariable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables “x” e “y” podemos medir dos razones de cambio: una según cambia “y”, dejando a “x” fija y otra según cambia “x”, dejando a “y” fija. 

Supongamos que dejamos variar sólo a “x”, dejando a “y” fija, digamos y=b, en donde “b” es una constante. Entonces, en verdad estamos enpresencia de una función de una sola variable “x”, a saber g(x)=f(x,b). Si “g” tiene una derivada en “a” entonces la llamamos la derivada parcial de “f” con respecto a “x” en (a,b). De forma análoga podemos hacerlo para “y” variable y “x” fija.

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. 
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivadaparcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Si , las primeras derivadas parciales de  respecto de x e y son las funciones  definidas como 
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siempre que el límite existe.

Dada  sus derivadas parciales  se denotan por 
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||
Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto  se denotan por 
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El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada mayor de orden que aparezca en dicha ocasión.
Ejemplo:

Derivadas  parciales de Orden Superior.

Tomando la función derivada de una función de dos o más variables nos es posible a veces volver a derivarla. Siendo las derivadasparciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto de “x” e “y” y les llamamos derivadas parciales de segundo orden.
Si f es una función de 2 variables entonces  son a su vez funciones, por lo que tiene sentido calcularle sus derivadas parciales.
Por lo tanto estas segundas derivadas, o derivadas de segundo orden, pueden ser éstas cuatro derivadasparciales:
A las derivadas

Teorema de Clairaut.
Si  es una función definida en el dominio D y si  &  son continuas, entonces.

Ejemplos:
Hallar las segundas derivadas parciales de
*
 
 
 
 
 

Observemos que  y  deben de ser iguales en sus resultados, eso nos indicaría que estamos bien en las respuestas, si no son iguales, tendríamos que ver en que paso cometimos el error...
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