tarea

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemosvisto para los conjuntos e son heredadas por .
Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .
Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).
Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemosanalizado en los distintos conjuntos de números.

Ordenado Denso Numerable Estructura algebraica
+ Semigrupo
* Semigrupo
+ Grupo
* Semigrupo
+,* Anillo conmut. con1
+ Grupo
* Grupo
+,* Cuerpo conmut.
No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *
+ Grupo
* Grupo
+,* Cuerpo conmut.Número real
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Diferentes clases de números reales.


Recta real.
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, talescomo: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se considerabanecesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una secciónposterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Contenido
• 1 Historia
o 1.1 Evolución del concepto de número
• 2 Tipos de números reales
• 3 Operaciones con números reales
• 4 Notación
• 5 Construcciones de los números reales
o 5.1 Caracterización axiomáticao 5.2 Construcción por números decimales
o 5.3 Construcción por cortaduras de Dedekind
o 5.4 Construcción por sucesiones de Cauchy
• 6 Véase también
• 7 Referencias
• 8 Enlaces externos

Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de lanecesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto denúmeros reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos...