tarea

La Ley de Gauss
1.

Introducci´n
o

− La ley de Gauss desempe˜ a un papel importante dentro de la electrost´tica y del elecn
a
tromagnetismo por dos razones b´sicas:
a
1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo el´ctrico debido
e
a una distribuci´n de cargas cuando ´sta presenta buenas propiedades de simetr´
o
e
ıa.
En estos casos, suele resultar muchom´s simple usar la ley de Gauss que obtener E
a
por integraci´n directa sobre la distribuci´n de cargas, tal y como se ha descrito en
o
o
el tema anterior.
2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley b´sica, no s´lo de la
a
o
electrost´tica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de
a
las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permitendescribir todos los
fen´menos electromagn´ticos).
o
e
− Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuaci´n matem´tica que relaciona
o
a
el campo el´ctrico sobre una superficie cerrada con la carga el´ctrica encerrada en su
e
e
interior.
− La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto
de l´
ıneas de campo. Como se vi´ en el temaanterior, el n´ mero de l´
o
u
ıneas de campo que
parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie
cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el n´ mero total de l´
u
ıneas que pasan
a trav´s de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Adem´s,
e
a
como se puede apreciar en la figura, el n´ mero de l´
u
ıneas debeser independiente de la forma
de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista
cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el n´mero de l´neas de campo que atraviesan
u
ı
una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en
su interior.

Figura 1:

1

2.

Flujo El´ctrico
e

− El flujo el´ctrico dΦ a trav´sde una superficie elemental da se define como el proe
e
ducto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de area da (ver
´
Fig. 2 (a)):
dΦ = E · da

(1)

Figura 2:
− El flujo total a trav´s de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede
e
variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en peque˜ os elementos de superficie ∆a,
n
en cada uno de loscuales E se puede suponer uniforme, y sumando el flujo a trav´s de
e
cada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)),
Φ=

E · ∆a =
S

S

E · da

(2)

Por tanto, el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie arbitraria S es igual a la integral
e
e
de superficie del campo E sobre dicha superficie.
− Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar medianteque el flujo a trav´s de una superficie cerrada S se suele escribir:
e
Φ=
S

, de modo
S

E · da

(3)

− Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo el´ctrico a trav´s de
e
e
una superficie:
Significado: el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie puede interpretarse como
e
e
una medida del n´ mero de l´
u
ıneas de campo que atraviesan dicha superficie;
en elcaso de una superficie cerrada, las l´
ıneas de campo que salen a trav´s de la
e
superficie dan una contribuci´n positiva al flujo, mientras que las l´
o
ıneas que entran
dan una contribuci´n negativa. Por tanto, el flujo el´ctrico a trav´s de una supero
e
e
ficie cerrada es una medida del n´mero neto de l´neas que pasan a trav´s de dicha
u
ı
e
superficie, es decir, del n´mero de l´neas quesalen menos el n´mero de l´neas que
u
ı
u
ı
entran;
las unidades de flujo el´ctrico en el sistema internacional son Newton · m2 /C;
e
2

3.

La Ley de Gauss

− Ley de Gauss: el flujo el´ctrico neto a trav´s de una superficie cerrada cualquiera es
e
e
igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por ε 0 :

Φ=

Q
E · da = εint
0
S

(4)

donde Qint es...