tarea

DERIVADAS PARCIALES
Supóngase que z=f(x, y), la derivada parcial de f respecto de x se denota mediante:
∂z∂x=fx(x, y)Es la función obtenida mediante derivación de respecto de , si permanece constante.
La derivada parcial de respecto de se denota mediante:
∂z∂y=fy(x, y)Es la función obtenida mediante derivación de respecto de , si permanece constante.
Ejemplo: Encuentre las derivadasparciales de fx y fy si fx,y=x2+2xy2+2y3xSolución:
Tenemos: fx,y=x2+2xy2+23yx-1fxx,y=2x+2y2+23y(-x-2)Para calcular fy, considere f como una función de y luego derive termino por termino, tratando x como una constante para obtener
fxx,y=0+2x2y+231x-1=4xy+23xAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
ANALISIS MARGINAL: En economía el término de análisis marginal, se refiere a la práctica de usaruna derivada para calcular el cambio que ocurre en el valor de una función como resultado del aumento en una unidad de una de sus variables.
Ejemplo de Análisis Marginal: Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función Qx,y=1200x+500y+x2y-x3-y2 unidades donde x es el número de trabajadores calificados, siendo y el número de trabajadores no calificados que seemplean en la planta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice el análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de un trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no cambia.
Solución: Sea Qxx,y=1200+2xy-3x2 es la razón de cambio de la producción con respecto alnúmero de trabajadores calificados. Para cualquier valor de x e y, esta es una aproximación del número de unidades adicionales que se producirá cada semana si el número de trabajadores calificados se aumenta de x a x+1, mientras que el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en y, es decir podemos aproximar:
Q(31,60)-Q(30,60) con Qx(30,60)=1200+2(30)(60)-3(30)2 = 2100 unidadesEjemplo de Costo Marginal: Una compañía elabora dos tipos de celulares, el básico y el sofisticado. La función de costos conjuntos está dada por:
Cx,y=0.01x2+0.05y2+0.4xy+2000, donde x es el número de celulares básicos, donde y es el numero de celulares sofisticados a producir. Encuentre los costos marginales cuando se producen 500 celulares del tipo básico y 100 del otro tipo.
Solución: Cx(x, y) =0.02x + 0.4yCy(x, y) = 0.1y + 0.4x
Cx(500,100) = 10 + 40 = 50Cy(500,100) = 10 + 200 = 210
Con el nivel actual de producción de 500 celulares de tipo básico y 100 del sofisticado, el costo total aumentará en 50 unidades monetarias si la producción del tipo básico aumenta en una unidad y la del tipo sofisticado permanece constante. Por otro lado el costo total aumentará 210unidades monetarias si la producción del celular tipo sofisticado aumenta en una unidad y la del tipo básico permanece constante.
PRODUCTIVIDAD MARGINAL: El nivel de producción de un producto depende de muchos factores, mano de obra, maquinaria, capital, capacidad de almacenamiento, etc. Llamaremos función de producción, P, a la cantidad de artículos que se produce. Asumamos que solo depende delcapital, K, y de la cantidad de mano de obra empleada L. Entonces tenemos P = P(K, L)
dPdK es la función de productividad marginal con respecto a K y se interpreta como el cambio aproximado en la producción cuando la unidad de capital se incrementa en una unidad y el nivel de mano de obra se mantiene constante.
dPdL es la función de productividad marginal con respecto a L y se interpreta como elcambio aproximado en la producción cuando la unidad de manos de obra se incrementa en una unidad y el nivel de inversión se mantiene fija.
Ejemplo: La función de producción de un producto elaborado por cierta empresa está dada por PK,L=100K0.4L0.6unidades, donde L es el tamaño de la fuerza laboral medido en horas- trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana en u.m....