tautologias

Definiciones
Tautología: Son aquellas fórmulas que son ciertas para
cualquier valoración de los símbolos proposicionales que
contiene.

1.4 Tautologías, contradicciones y
contingencias

ϕ ∈LΣ ϕ tautología ⇔ ∀ V [ϕ]V = 1

(o V ϕ )

Contradicción: Son aquellas fórmulas que son falsas
para cualquier valoración de los símbolos proposicionales
que contiene.

Lógica

ϕ ∈ LΣ ϕcontradicción ⇔ ∀ V [ϕ]V = 0

(o V  ϕ )

Contigencia: Son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad
o falsedad depende de la valoración de los símbolos
proposicionales que contiene.
1.4 Tautologías,contradicciones y contingencias

Ejemplo

2

Teorema
Teorema:

Demostrad que  = (p → q) ∧ p ∧ ¬q es una contradicción

Existe un método efectivo para decidir si una fórmula dada ϕ ∈ LΣ
estautología, contradicción o contingencia.

• Reducción al absurdo:
Supongamos que existe valoración V tal que V 

Ejemplo:

Entonces V  p → q, V p, V  ¬q

 = (p → r) ∧ (q → r) → (p ∨ q →r)

Pero no es posible [p → q]V = 1 con V(p) = 1 y V(q) = 0

1.4 Tautologías, contradicciones y contingencias

p

3

q

r

0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
10
1
0
1

p → r q → r (p → r) ∧ (q → r) p ∨ q
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1

1.4 Tautologías, contradicciones y contingenciasp∨q→r
1
1
0
1
0
1
0
1


1
1
1
1
1
1
1
1
4

1

Sustituciones

Teorema
Teorema:

Definición:
Sea una fórmula ψ ∈ LΣ que contiene al menos los símbolos
proposicionalesp1, p2, ... pn ∈ Σ, y sean ϕ1, ϕ2, ... ϕn fórmulas
arbitrarias de LΣ
ψ’ = ψ[p1/ϕ1, p2/ϕ2, ... pn/ϕn] designa a la fórmula resultante de
sustituir en ψ todas las apariciones de p1, p2, ... pn por ϕ1,ϕ2, ... ϕn
respectivamente.

Ejemplo:
(p →¬q∧r)→(p↔s) [p/(s∧t),q/(¬t)] ⇒ ((s∧t) →¬(¬t)∧r)→((s∧t) ↔s)

ϕ es tautología ⇔ Todo caso particular de ϕ (ϕ’) es tautología

Ejemplo:
φ ∧ ψ → φ...