TDRLM MODULO 3

DESARROLLO DE RAZONAMIENTO LOGICO-MATEMATICO

TEMA 11

Explicación del tema
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Hemos llegado a acostumbrarnos a la aritmética, está tan enraizada en nuestros modos de pensamiento, que raramente nos ponemos a analizar sus portentos. No deja de ser sorprendente que todo lo que hacemos en aritmética, y consecuentemente en álgebra, es producto de simples reglas del pensamiento. Porejemplo, la conmutatividad de la suma y de la multiplicación, es decir, operaciones como:
4 + 7 = 7 + 4 = 11 o 7x4 = 4x7 = 28
Aparece una y otra vez en todos nuestros pensamientos matemáticos; una vez que hemos sido entrenados a pensar en estas propiedades básicas, nuestros pensamientos fluyen.
Solo aquellos alumnos que hayan comprendido la lógica detrás de los números, tendrán éxito usándolosadecuadamente. Por ejemplo, para comprender los números naturales, hay que comprender la lógica del mayor y menor, que se encuentra en la naturaleza ordinal de los mismos. Una cosa es que un niño aprenda el “cantadito” del uno al diez, y otra que se dé cuenta de que si 7 es 4 más 3, entonces el 7 es necesariamente mayor que el 4 y que el 3. Es decir, si A es mayor que B y B es mayor que C, entonces Aes mayor que C. De igual manera, podemos decir que la cardinalidad de los números es también crucial para su entendimiento.
En un conjunto, cada objeto debe contarse solo una vez; con ello aseguramos que si contamos de izquierda a derecha, de derecha a izquierda o del centro hacia los lados, la cantidad de objetos será la misma. Estas reglas lógicas de ordinalidad y cardinalidad son principios queabsolutamente tienen que comprenderse, si se han de manejar adecuadamente los números.  
Ejemplo:


Como ejemplos adicionales podríamos hablar del principio de equivalencia de los números racionales. Una fracción que luce completamente diferente a otra puede tener “escondidos” una serie de factores que al simplificarse revela que las fracciones son las mismas, y todo esto queda resumido en laidea de que un número multiplicado y dividido por el mismo número es una identidad multiplicativa.  
Los ejemplos pueden continuar, hasta encontrar situaciones en las cuales la mayoría de los alumnos fracasan  en entender las reglas lógicas que hay detrás de las operaciones que efectúan. Un ejemplo dramático es el famoso y ampliamente usado menos por menos es más. Pocos estudiantes pueden explicar larazón lógica de esta regla, a pesar de que la usan todo el tiempo. Un poco de pensamiento lógico puede resolver tales misterios:
Si todo número real “a” tiene un inverso aditivo, entonces podemos elegir por ejemplo el “5” y decir que:
5 + (-5) = 0
Si toda igualdad al ser multiplicada por un número, la igualdad se mantiene; entonces tenemos que si elegimos el número -3, nos queda:
5(-3) + (-5)(-3)= 0 (-3)
Si toda cantidad multiplicada por cero es cero, entonces tenemos:
5(-3) + (-5)(-3) = 0
Si sumamos dos cantidades iguales a ambos lados de la igualdad, la igualdad no se altera:
5(-3) + (-5)(-3) + 5(3) = 0 + 5(3)
Pero la suma es conmutativa y, por lo tanto, podemos escribir
5(-3) + 5(3)  + (-5)(-3) = 0 + 5(3)
Pero 5(-3) + 5(3) = 0 por ser inversos aditivos.  
Entonces
0 + (-5)(-3) = 0 +5(3)
Y ya sabemos que sumar cero deja la suma inalterada, entonces:
(-5)(-3) = 5(3)
O sea: menos por menos es más. 

Quienes tengan paciencia para seguir estos razonamientos se sentirán altamente recompensados al explicar en términos puramente lógicos un hecho matemático que normalmente se vive en forma inexplicable. El punto es que todos estos pasos vistos, uno por uno, ilustran principiosperfectamente comprensibles para un alumno ya acostumbrado a operar con números. No se está haciendo más que generalizar situaciones obvias, como:
5(0) = 0
5 + 0 = 5
5 – 5 = 0
5 + 4 + 5 = 5 + 5 +4 
Si 3 + 2 = 5, entonces 3(4) + 2(4) = 5(4)
Hemos aprendido todo lo anterior acerca de los números, pero en general no hemos aprendido a usar nuestro pensamiento lógico para llegar a la conclusión de que...