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Enunciado 4

Tenemos un sistema de cargas constituido por una distribución uniforme de una carga Q sobre una esfera de radio R0 y otra carga –Q distribuida uniformemente sobre una capa esféricaconcéntrica con la esfera, de radio interior R = (R0/3).106 y de espesor △R=3R0⋅10−12.

a) Calcular la distribución de campo en función de la distancia r al centro.
b) Calcular la energíaelectrostática del sistema
c) Si por algún procedimiento quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica, ¿cuál es la variación de energía electrostática del sistema?.

Para calcular la distribución delcampo eléctrico tenemos varias regiones. Para r < R0, por el teorema de Gauss podemos poner :

∫SE⋅dS=qε0⇒4⋅π⋅r2⋅E=qε0⇒E=14⋅π⋅ε0⋅qr2
pero el valor de q puede obtenerse a partir de Q(4/3)π⋅R30=q(4/3)π⋅r3⇒q=r3R30⋅Q
y, finalmente :

E=14⋅π⋅ε0⋅rR30⋅Q
Para los puntos en los que r está comprendido entre R0 y R tenemos :

∫SE⋅dS=Qε0⇒4⋅π⋅r2⋅E=Qε0⇒E=14⋅π⋅ε0⋅Qr2
Para los puntos situados dentro oexteriormente a la capa esférica, podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos :

△R=3R0⋅10−12<<R=13⋅R0⋅106
y, por lo tanto, solo hemos de considerar el campo eléctricopara puntos fuera de la capa esférica en los que se tendrá E = 0, ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior.
Para obtener la energía electrostática del sistematenemos en cuenta que a partir de r mayor o igual que R el campo eléctrico se hace nulo por no existir carga efectiva. Por todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir de la expresión :W=12⋅ε0∭E2⋅dV
y la calculamos como sigue:

W=12⋅ε0∫02πdφ∫0πsinθdθ∫0R0r2⋅(r⋅Q4⋅π⋅ε0R30)2⋅dr+ 

+12⋅ε0∫02πdφ∫0πsinθdθ∫R0Rr2⋅(Q4⋅π⋅ε0r2)2⋅dr
y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R :W=Q28π⋅ε0R60∫0R0r4⋅dr+Q28π⋅ε0∫0R01r2⋅dr=Q28⋅π⋅ε0⋅R0(65−3106)
Si quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica es como si sobre los puntos situados a una distancia r > R actuara una...