Tecnico Electricista

ECUACIONES EXPONENCIALES
1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
a) 3 − x +1 = 3 2 x +3
Solución.
Exponenciales con igual base, se igualan los exponentes.
3 − x +1 = 3 2 x +3 ⇔ − x + 1 = 2x + 2
1 − 2 = 2x + x
−1
3x = −1 : x =
3

b) 3 ⋅ 3 x = 243
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
31+ x = 35

3 ⋅ 3 x = 243 :

1+ x = 5

::

x=4

2 2 x + 2 = 0'5 2 x −1
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.

c)

2 2 x + 2 = 0'5 2 x −1

1
2 2x +2 =  
2

:

2 2 x + 2 = 2 −1⋅(2 x −1)

2x + 2x = 1 − 2

1

 25 

d) 5 ⋅ 5 125 2 x = 

4 x = −1

:

2 2 x + 2 = 2 −1

:

2x + 2 = −1 ⋅ (2 x − 1)

:

()

2 x −1

2 x + 2 = −2 x + 1

:

:

2x −1

x=

−1
4

3x −1

Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
1
5
5 ⋅ 125 2 x =  
 25 

()

2x  5

− 2 3x −1
5 ⋅  53
 =5



:

6x

5 ⋅ 5 5 = 5 −6 x + 2

6x
+ 6x = 2 − 1
5

1

()

3x −1

1+

:

5

6x
5

= 5 −6 x + 2

6x + 30 x
=1
5

:

:

:

5⋅5

3⋅2 x ⋅

1+

2

2
7 x −5 x +6 = 1

x=

:

2
7 x −5 x + 6 = 7 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0

(− 5) ± (− 5)2 − 4 ⋅1⋅ 6
2 ⋅1

1

= 5 − 2⋅(3x −1)

6x
= −6x + 2
5
5
36 x = 5 : x =
36
:

7 x −5 x + 6 = 1
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.

e)

1
5

x = 2
:
x = 3

4x − 2x = 2
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 2x.

f)

4x − 2x = 2(2 )

2x

:

− 2x − 2 = 0

(2 )

x2

:

− 2x − 2 = 0

x

Cambio de variable: 2 = t > 0 (por definición, la exponencial siempre es positiva).
t2 − t −2 = 0

− (− 1) ±

t=

:

(− 1)2 − 4 ⋅1⋅ (− 2)
2 ⋅1

t = −1
=
t=2

t = −1: No tiene sentido, la exponencial siempre es positiva
t = 2: t = 2 x = 2 = 21 ⇔ x = 1

g) 4 x ⋅16 x = 2
Solución.
Los dos términos sepueden expresar como exponenciales de igual base.

(2 ) ⋅ (2 )
2x

4 x ⋅16 x = 2 :

4x

=2 :

2 2x ⋅ 2 4x = 2 :

2 2 x + 4 x = 21

1
6

2 6 x = 21 ⇒ 6 x = 1 : x =

h) 9 x − 2 ⋅ 3 x + 2 + 81 = 0
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 3x.
2
x
2x
 x2

= 3x
9 x − 2 ⋅ 3 x + 2 + 81 = 0 :  9 = 3
− 2 ⋅ 9 ⋅ 3 x + 81 = 0
: 3
x +2
2x
x
3
= 3 ⋅3 = 9⋅3 


() ()

(3 )

x2

{

}

()

− 18 ⋅ 3 x + 81 = 0 : t = 3 x > 0 : t 2 − 18 ⋅ t + 81 = 0 : t =

− (− 18) ±

(− 18)2 − 4 ⋅1⋅ 81
2 ⋅1

=9

t = 3x = 9 = 32 ⇔ x = 2
7 2 x +3 − 8 ⋅ 7 x +1 + 1 = 0
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 7x.
2
 2 x +3

= 7 3 ⋅ 7 2 x = 343 ⋅ 7 x  : 343 ⋅ 7 x 2 − 8 ⋅ 7 ⋅ 7 x + 1 = 0
7 2 x +3 − 8 ⋅ 7 x +1 + 1 = 0 : 7


7 x +1 = 71 ⋅ 7 x = 7 ⋅ 7 x



i)

()

()

2
− (− 56 ) ±
343 ⋅ 7 x − 56 ⋅ 7 x + 1 = 0 : 7 x = t > 0 : 343 ⋅ t 2 − 56 ⋅ t + 1 = 0 : t =

()

{

}

(− 56)2 − 4 ⋅ 343 ⋅1
2 ⋅ 343

1

−1
x
56 ± 42  t = 7 = 7 = 7 ⇔ x = −1
:
=
686 t = 1 = 7 − 2 = 7 x ⇔ x = −2
 49

2 x ⋅ 3 x = 12 ⋅18
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.j)

2 x ⋅ 3 x = 12 ⋅18 :

(2 ⋅ 3)x

( )(

)

= 2 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 2 : 6 x = 2 3 ⋅ 3 3 : 6 x = (2 ⋅ 3)3
x

3

6 =6 ⇔x=3

2

=

k) 3 x +

1
3

x −1

=4

Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 3x.
1
1
3
3x +
= 4 : 3x +
= 4 : 3x +
=4
x −1
x
−1
3
3 ⋅3
3x
Para quitar el denominador, se multiplica toda la ecuación por 3x.
2
2

3
 = 3x ⋅ 4 :3x + 3 = 4 ⋅ 3x : 3x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0 : 3x = t
3x ⋅ 3x +

x
3


()

t2 − 4⋅t + 3 = 0 : t =

− (− 4 ) ±

()

(− 4)2 − 4 ⋅1⋅ 3
2 ⋅1

{

}


t = 1 = 3 0 = 3 x ⇔ x = 0
:
 t = 3 = 31 = 3 x ⇔ x = 1


4 x +1 + 2 x +3 − 320 = 0
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 2x.
x
 x +1

= 41 ⋅ 4 x = 4 ⋅ 2 2 = 4 ⋅ 2 x
4 x +1 + 2 x +3 − 320 = 0 : 4
...