Tecnico Electro-Mecanico
Páginas: 4 (848 palabras)
Publicado: 18 de febrero de 2013
Menor, cofactor y comatriz
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j. Por ejemplo, con n =4, i = 3 y j = 2:
El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) . En el ejemplo, M3,2 = 34 El cofactor de ai,j, es decir el cofactorrelativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota ci, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima. En el ejemplo, c3, 2 = (-1)5 × 34= -34. La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a larelación: A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.
Matrices elementales
Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una operación elemental dematrices sobre la matriz identidad. Estas son: Obtenidas por escalamiento
Obtenidas por eliminación
Si multiplicamos alguna de estas matrices por una matriz A, será como aplicar las operacioneselementales de matrices. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas, ya que pensando en ellas como matrices A se debe aplicar la operación "inversa". Por ejemplo, teniendo:
Queremos que elelemento a33 sea 1. Entonces:
Matrices de permutación par:
Matrices de permutación impar:
Matriz adjunta
Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante desustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la quepertenece el término ai j multiplicado por (-1)(i+j) Un ejemplo sería el siguiente:
En general: dada la matriz
su adjunto es
Matriz simétrica
Una matriz de nxm elementos:
es simétrica, si...
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j. Por ejemplo, con n =4, i = 3 y j = 2:
El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) . En el ejemplo, M3,2 = 34 El cofactor de ai,j, es decir el cofactorrelativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota ci, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima. En el ejemplo, c3, 2 = (-1)5 × 34= -34. La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a larelación: A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.
Matrices elementales
Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una operación elemental dematrices sobre la matriz identidad. Estas son: Obtenidas por escalamiento
Obtenidas por eliminación
Si multiplicamos alguna de estas matrices por una matriz A, será como aplicar las operacioneselementales de matrices. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas, ya que pensando en ellas como matrices A se debe aplicar la operación "inversa". Por ejemplo, teniendo:
Queremos que elelemento a33 sea 1. Entonces:
Matrices de permutación par:
Matrices de permutación impar:
Matriz adjunta
Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante desustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la quepertenece el término ai j multiplicado por (-1)(i+j) Un ejemplo sería el siguiente:
En general: dada la matriz
su adjunto es
Matriz simétrica
Una matriz de nxm elementos:
es simétrica, si...
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