Tecnico Electronico, Estudiante De Ing. En Sistemas De Computacion

Continuidad

Dra. M. Álvarez-Dra. L. Castro (UNS)

Análisis Matemático I

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Contenidos

1 Continuidad de funciones reales de variable real

Clasificación de las discontinuidades Continuidad por derecha e izquierda Continuidad en un intervalo cerrado Teorema de la permanencia de signo Teorema del valor intermedio Teorema de Bolzano Método de bisección Continuidad de la funcióninversa Extremos relativos Extremos absolutos Teorema de Weierstrass

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Supongamos que un vehículo se desplaza sobre una carretera plana de un punto a otro sin volver hacia atrás en ningún momento. Si pudiéramos trazar la trayectoria que el vehículo describe sobre la carretera, ésta correspondería al gráfico de una función ydicho gráfico no presentaría cortes, “agujeros” o “saltos”. Es decir, dicha trayectoria sería una curva que, intuitivamente, denominaríamos “continua”. Consideremos ahora los siguientes gráficos de funciones
y y

x a a

x

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y

y

x a

x

De los gráficos anteriores podemos conjeturar que para que una función f(x) sea continua en un punto x = x0 deberíamos pedir que verifique las siguientes condiciones f debe estar definida en x = x0 , es decir x0 ∈ Dom f . Debe existir el lim f (x).
x→x0

Debe ser lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
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Continuidad
Función continua en un punto Decimos que una función f es continua en un punto x0 si y sólo si sesatisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: C1. x0 ∈ Dom f , C2. existe el lim f (x),
x→x0

C3.

x→x0

lim f (x) = f (x0 ).

Observaciones: Si una o más condiciones de la definición no se verifican decimos que la función es discontinua en x = x0 y que x = x0 es un punto de discontinuidad de f . Si una función f es continua en todos los puntos de un intervalo (a, b) ⊆ R, entoncesdecimos que f es continua en (a, b). De la definición de continuidad en un punto y de las propiedades de límite, se deducen las siguientes propiedades para las funciones continuas en un punto.
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Propiedades

Propiedades de las funciones continuas Sean f , g funciones continuas en x = x0 , x0 ∈ R y sea k ∈ R una constante.Entonces se verifican las siguientes propiedades: 1. f + g es continua en x0 . 2. f · g es continua en x0 . 3. kf es continua en x0 . 4. Si g (x0 ) = 0,
f g

es continua en x0 .

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Ejemplos

Ejemplos: Estudie la continuidad de las siguientes funciones. 1. f (x) = x, cualquiera sea x ∈ R. 2. P (x) = an x n + an−1 x n−1 + . .. + a2 x 2 + a1 x + a0 , cualquiera sea x ∈ R. sin x si x = 0, x 3. f (x) = en x0 = 0. 2 si x = 0 4. f (x) = k, cualquiera sea x ∈ R.  si x < −3  2 |x| − 1 si −3 < x ≤ 1 , en R. 5. f (x) =  2 x si x > 1 6. g (x) =
1 x+2

en x0 = −2.

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Clasificación de las discontinuidades
Supongamos que una función f tiene un puntode discontinuidad en x = x0 . Decimos que la discontinuidad es evitable si existe el lim f (x).
x→x0

no evitable si no existe el lim f (x).
x→x0

Si una función f tiene una discontinuidad evitable en x = x0 entonces es posible redefinir o extender la función de manera que la nueva función resulte continua. En efecto, supongamos que existe lim f (x) = L. Entonces la función h (x)
x→x0definida de la siguiente manera h (x) = resulta continua en x0 .
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f (x) si x ∈ Dom f , x = x0 . L si x = x0

Ejemplos

Ejemplos: 1. Para los ejemplos anteriores, clasifique las discontinuidades halladas y, en los casos que sea posible, redefina la función de manera que resulte continua en los/s punto/s que correspondiera. 2....