Tecnico Mecanico

´ Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matem´tica Aplicada II. Universidad de Sevilla. a

Tema 1.- Elementos de geometr´ en el plano y el espacio ıa
Vectores en R2 y R3 . Rectas en el plano. Rectas y planos en el espacio. C´nicas: Secciones c´nicas. Definici´n m´trica y elementos notables. Propiedades focales. Ecuaci´n o o o e o reducida. Cu´dricas: Ecuaciones reducidasy representaci´n gr´fica. a o a La necesidad de afrontar el estudio de objetos complicados del plano y el espacio hace conveniente disponer de un manejo previo de ciertas curvas y superficies simples. Este primer tema se divide en tres secciones que, aparte de estar unidas por el nexo com´n de la geometr´ y por sus m´ltiples utilidades, se diferencian en los temas que analizan: u ıa u en primerlugar, se tratan las rectas en el plano y el espacio as´ como los planos en el espacio; en segundo lugar, las ı c´nicas en el plano y, para finalizar, las superficies cu´dricas en el espacio. o a En la primera parte del tema se han recopilado diversos problemas de selectividad de cursos anteriores. Todos ellos se pueden abordar con conceptos simples de geometr´ en el plano y el espacio que deben serconocidos por los ıa alumnos de su paso por el bachillerato. Las c´nicas son curvas que se obtienen a partir de ecuaciones de segundo grado en dos variables. Geom´tricamente o e se obtienen, salvo algunos casos degenerados, de la intersecci´n de un plano con un cono, raz´n por la cual reciben el o o nombre de secciones c´nicas. Su importancia radica, junto a la utilidad que tienen para el estudio deotras curvas m´s o a complicadas, en sus muchas propiedades geom´tricas que, como veremos, tienen aplicaci´n directa a problemas de la e o F´ ısica, Ingenier´ y otras ciencias. ıa Por su parte, las cu´dricas son superficies del espacio que, an´logamente a las c´nicas, corresponden a los puntos a a o del espacio que verifican una ecuaci´n de segundo grado en tres variables. o Comentemos, paraterminar, que el estudio de las c´nicas y cu´dricas que llevaremos a cabo en este primer tema o a se reducir´ a aquellas cuyos ejes sean paralelos a los ejes coordenados. Esta condici´n se traduce, en t´rminos de la a o e ecuaci´n de segundo grado, en que no aparecer´n productos cruzados de las variables. o a

1.

Vectores en R2 y R3 . Rectas en el plano. Rectas y planos en el espacio.

La materiaa la que se hace referencia en el t´ ıtulo de esta secci´n es conocida por los alumnos de su paso por el o Bachillerato y, para su repaso, se recopilan a continuaci´n un buen n´mero de problemas de selectividad. Para resolver o u alguno de ellos existen t´cnicas y f´rmulas particulares que, con el paso del tiempo, son olvidadas. Animamos aqu´ a e o ı resolver estos ejercicios utilizando s´lo lasideas, procedimientos y expresiones m´s simples y usuales, como son: o a el c´lculo de las ecuaciones de una recta (en el plano o el espacio) conociendo dos puntos de ella o conociendo a un punto y un vector director de la misma; el c´lculo de la ecuaci´n de un plano en el espacio a partir de un punto y dos vectores con distinta direcci´n o a a o o partir de tres puntos no alineados; ladeterminaci´n del paralelismo de rectas y de planos en relaci´n con los coeficientes de sus ecuaciones respectivas; o o la definici´n de producto escalar y de producto vectorial; o la relaci´n entre el concepto de perpendicularidad de vectores y el producto escalar nulo; o la definici´n de distancia entre dos puntos; o saber que la distancia (m´ ınima) entre una recta y un punto exterior a ella se mide endirecci´n perpendicular a o dicha recta (´ ıdem con un plano y un punto exterior a ´l). e

Ejercicios de Selectividad
Ejercicio S1. Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersecci´n de los planos de ecuaciones o respectivas x + y + 2z = 4 y 2x − y + z = 2. Ejercicio S2. Calcula las coordenadas del punto sim´trico del (1, −3, 7) respecto de la recta dada por las ecuaciones e...