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Sistemas de posicionamiento
3er Parcial
Oscar Daniel Flores Peña
830141 8h1
El Péndulo invertido
Prof. José Arana Valdez

Péndulo invertido

Descripción física del sistema
El sistema se compone de una bola de masa m situada en el extremo de una barra de masa despreciable con una longitud l. Además, se sabe que el momento de inercia del péndulo respecto a su punto de giro es J, elcoeficiente de fricción viscosa es B y el par aplicado es T. El ángulo girado q, que será la variable de salida y, se toma según indica la figura 1.

Modelado Matemático del Péndulo
El objetivo de la fase de modelado, es encontrar una expresión matemática que represente el comportamiento físico del sistema. Para modelar el sistema existen dos estrategias. La primera es tratar al sistema como un \cajanegra" y realizar sobre el un conjunto de acciones (señales de entrada) observando cómo se comporta (estudiar las salidas) deduciendo un modelo matemático para este. Un ejemplo será la técnica de Ziegler-Nichols. La segunda consiste en estudiar los procesos físicos que tienen lugar en el sistema para deducir su ley de comportamiento. El re-soltada que se pretende es la identificación del sistemaa través de su funcion de transferencia.

El ángulo q queda determinado por la ecuación (1). El par T aplicado sobre el péndulo se invierte en incrementar la aceleración angular, en vencer la fricción viscosa y en compensar el par generado por el peso del sistema.

| T |
| = |
| J · | d2 (t) dt2 | + B · | d(t) dt | + m ·g ·l ·sen (t) |
| | (1) |
|
Esta ecuacióndiferencial no lineal de segundo orden describe el comportamiento dinámico del péndulo.
Ecuaciones del espacio de estados
Una representación alternativa a la ecuación diferencial (1) es la representación interna o de espacio de estados. En muchos sistemas físicos una elección adecuada consiste en tomar como variables de estado la salida y sus derivadas. En este caso tomaremos el ángulo girado q y lavelocidad angular, según:

| x1 |
| = |
| (t) |
| |
| x2 |
| = |
| |   | (t) |
| |
|
Las ecuaciones del espacio de estados serán:

| | x  |
1  | |
| = |
| x2 |
| | (2) |
| | x  |
2  | |
| = |
| | 1 J | ·[B·x2  m ·g ·l ·sen x1 + T] |
| | (3) |
| y |
| = |
| x1 |
| | (4) |
|

Diagrama de bloques delsistema

A partir de las ecuaciones anteriores se puede obtener fácilmente el diagrama de bloques de la figura 2 que define la variable de salida q ante una entrada de par T.

Figure 2: Diagrama de bloques
Simulación del modelo
Los valores de las constantes que definen al sistema son:

l = 1; % longitud en metros
B = 2; % coef. de fricción viscosa en N.m / (rads/s)g = 9.8; % aceleración de la gravedad m.s^2
m = 3; % masa en kg
J = m*l^2; % momento de inercia en kg.m^2
Para proceder a la simulación del péndulo se usa la herramienta Simulink de MATLAB. La implementación tiene el aspecto mostrado en la figura 3. Hay que tener en cuenta que las condiciones iniciales quedan determinadas por los valores iniciales de los integradores.Asimismo, la presencia de integradores simplifica la obtención de las derivadas y la elección de las variables de estado.

Figure 3: Simulación del péndulo usando Simulink
Además, se puede simular de una forma más visual la evolución del péndulo ejecutando el siguiente script.

figure(1); for k=1:length(t.signals.values);
plot([0,l*exp(j*(teta.signals.values(k)-(pi/2)))],'o-');
axisequal;
axis(1.2*[-1 1 -1 1]);
grid on;
drawnow;
end

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