Tecnologo

Criterio de Estabilidad de
Routh Hurwitz

JOAQUIN ADOLFO BAUTISTA G.
Cod: 21131024409

Ing. LUIS MURILLO

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
INGENIERIA ELECTROMECÁNICA
CARTAGENA
2012
Criterio de Estabilidad de
Routh Hurwitz

Según la definición de estabilidad Un sistema lineal es estable si todos los polos de su función de transferencia están en el semiplano izquierdo del plano s., alser la función de transferencia de un sistema un cociente de polinomios en s, la estabilidad BIBO (entrada acotada-salida acotada) del sistema está completamente determinada por los polos de G(s). En este sentido, si todos ellos tienen partes reales negativas entonces el sistema es estable BIBO.
Se dice que un polinomio es de Hurwitz si todas sus raíces tienen partes reales negativas. Por tanto, elproblema de la estabilidad se reduce a saber si el polinomio denominador de la función de transferencia es de Hurwitz o no. Un método directo sería resolver el polinomio, pero si el grado de éste es elevado, esta tarea es altamente costosa. Por otra parte, el conocimiento de las ubicaciones exactas de las raíces no es necesario en cuanto al estudio de la estabilidad absoluta se refiere. En estasección vamos a estudiar un criterio que permite determinar si un polinomio es de Hurwitz o no, sin necesidad de obtener las raíces del polinomio. Consideremos el siguiente polinomio:

en donde todos los coeficientes son números reales. En primer lugar, se puede demostrar que con a0>0 si alguno de sus coeficientes es negativo o nulo, el polinomio no es de Hurwitz. Esta condición solo esnecesaria, y puede ocurrir que un polinomio con todos sus coeficientes positivos no sea de Hurwitz. La condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea de Hurwitz la proporciona el llamado Criterio de Routh-Hurwitz.
Para la aplicación de dicho criterio se sigue el siguiente procedimiento. A partir del polinomio D(s) se forman dos polinomios:

A continuación, se construye la tabla de Routh:Las dos primeras filas de la tabla están formadas por los coeficientes de los polinomios D1(s) y D2(s), respectivamente. Para obtener el resto de los coeficientes de la tabla  hay que hacer un cálculo similar al de un determinante (cambiado de signo y dividido por uno de los coeficientes de la tabla). Así, los coeficientes bi de la tercera fila se obtienen mediante las expresiones:

Cada unode dichos coeficientes es el determinante cambiado de signo de la matriz formada por los coeficientes colocados en la primera y segunda fila (dos filas anteriores) de la primera columna y de la  columna a su derecha y dividido por el coeficiente de la primera columna de la fila anterior. De forma análoga, los coeficientes ci de la cuarta fila se obtienen usando las filas segunda y tercera y asísucesivamente hasta completar la tabla:

En resumen, para obtener cada elemento de una determinada fila se parte de las dos filas inmediatamente anteriores. Se construye, entonces, una “matriz” con la primera columna de dichas filas y la columna de la derecha de la fila del elemento que se esté calculando, se calcula el determinante cambiado de signo, y, finalmente, se divide el resultado por elelemento de la primera columna de la fila inmediatamente anterior.
Una vez construida la tabla, se puede establecer que D(s) es de Hurwitz si y solo si los números de la columna de la izquierda de la tabla son todos positivos. Además, el criterio de Routh-Hurwitz establece que si en dicha columna hay cambios de signo, el número de cambios de signo (observar que no se dice “el número de elementonegativos”) indica el número de raíces del polinomio D(s) que tienen parte real positiva, que en definitiva, no es otra cosa que el número de polos inestables de un sistema si dicho polinomio es el denominador de su función de transferencia.
Entonces, si D(s) es el denominador de una función de transferencia, y dado que es el signo de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh...