tejidos

MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Vectores en el plano

CIENCIAS

−2v

w
u

Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo

v

Vectores

MaTEX

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

−2u
c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

Doc Doc
ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Vectoresen el plano
1.1. Vector fijo y libre
1.2. Operaciones con vectores
1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base
o
2. Coordenada cartesianas
2.1. Base can´nica
o
3. Producto escalar de vectores
3.1. Vectores ortogonales
3.2. Producto escalar
3.3. M´dulo de un vector
o
´
3.4. Angulo de dos vectores
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mvCIENCIAS

MaTEX
Vectores

Tabla de Contenido

Doc Doc
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Secci´n 1: Vectores en el plano
o

3

r=A+lu

1. Vectores en el plano

A

1.1. Vector fijo y libre

d

−
−
→
Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su
origen en el punto A y su extremo en el punto B.

M´dulo: Es la longitud del
o
vector. Lo representamos por
−
−
→
|AB|
Direcci´n: Esla direcci´n
o
o
de la recta que lo contiene.
Si dos vectores son paralelos
tienen la misma direcci´n.
o
Sentido: Es el que va del
origen al extremo. Lo representamos por la punta de
la flecha. Una direcci´n tiene
o
dos sentidos.

y1
y0

−
→
AB

B

A
x0

x1

−
→
AB(x1 − x0 , y1 − y0 )

B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Vectores

Definici´n 1
o

MATEMATICAS
1ºBachillerato

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Secci´n 1: Vectores en el plano
o

4

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

Definici´n 2
o

A

Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo
m´dulo, direcci´n y sentido
o
o

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

− −→
− −
→
−→
−
As´ los vectores AB,CD y EF son
ı,
equipolentes y representantes del mismo vector libre u.
En elparalelogramo ABDC, son
−
−
→ −→
−
equipolentes los vectores AB y CD, y
representantes de u.
Tambi´n son equipolentes los vectores
e
−
→ −→
−
AC y BD, y representantes de v.

B

D

→
−
u

→
−
u

A

C

→
−
u

F
→
−
u

E

C

u

D

v

A

v

u

MaTEX
Vectores

Todos los vectores del gr´fico tienen la
a
misma direcci´n, sentido y magnitud,
o
son todosellos equipolentes. Tambi´n
e
decimos que son representantes del
vector libre u.

B

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Secci´n 1: Vectores en el plano
o

5

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

1.2. Operaciones con vectores

A

Definici´n 3
o

d

El producto de un n´mero α por un vector u es otro vector
u
libre representado por α · u

Si α > 0, α·u tiene el mismo sentido que
u ,y si α < 0 tienen sentido contrario.
Si α > 1, el vector α · u se dilata o alarga
y si α < 1, el vector α · u se contrae o
acorta.

u

CIENCIAS

MaTEX

1
2u

2u

−u

El caso que α = 0, el vector α · u corresponde al vector nulo (0, 0)

Vectores

El vector α · u mantiene la direcci´n pero
o
puede cambiar el sentido o la magnitud del
vector u.

B
s=B+mv

En el gr´ficose muestran los vectores m´ltiplos de u, la mitad de u con
a
u
1
α = , el doble de u con α = 2 y el opuesto de u con α = −1.
2
Doc Doc
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Secci´n 1: Vectores en el plano
o

6

Definici´n 4 La suma de los vectores libres u y v es otro vector libre
o
u+v

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

v

u+v
u

Definici´n 5 La resta de los vectores libres u(u1 , u2 ) yv(v1 , v2 ) es otro veco
tor libre definido por
u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 )
la interpretaci´n gr´fica de la resta se muestra
o
a
en el dibujo. El vector resta u−v es la diagonal
del paralelogramo construido con u y −v.

u

−v

u−v

MaTEX
Vectores

que se obtiene gr´ficamente, tomando reprea
sentantes de u y v con el mismo origen, y
trazando la diagonal del paralelogramo que...