Tema 0

E.I.I.C. - Álgebra

Tema 0: Los Conjuntos Numéricos

TEMA 0: LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
0.1.- TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO:
Se define un conjunto como una colección o reunión de elementos
bien definidos y diferenciables. Generalmente se utilizan letras mayúsculas
para designar los conjuntos. Pueden expresarse de dos formas:
 Por extensión: Indicando todos y cada uno de sus elementos.
Normalmente seescriben los elementos del conjunto entre llaves
({...}).
 Por comprensión: Dando una propiedad que cumplan todos los
elementos del conjunto y sólo ellos.
Para indicar que un elemento “pertenece” a un conjunto se usa el
símbolo de pertenencia,  .
SUBCONJUNTO:
 Un conjunto S es subconjunto de otro conjunto C , si todos los
elementos de S son elementos de C . En este caso al conjunto S
tambiénse denomina “parte” de C . Para indicarlo se usa el
símbolo de inclusión,  ;  ( S  C ; C  S ).
CONJUNTOS VACIO Y UNIVERSAL:
 CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene ningún
elemento. Se denota por  .
 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL: Es el conjunto
al que pertenece “todo” elemento y del cual todos los conjuntos
son subconjuntos. Se denota por I (o por U o por E).
Nota: Se trata de unreferencial al que pertenecen todos los
elementos de los conjuntos surgidos en una situación o problema
determinado. Si a un conjunto se le considera universal también lo
serán todos los conjuntos que lo contienen.

-1-

E.I.I.C. - Álgebra

Tema 0: Los Conjuntos Numéricos

DIAGRAMAS DE VENN:
Son la representación en el plano de los conjuntos.

I

A
B

C

OPERACIONES CON CONJUNTOS:
 UNIÓN: A  B  x / x  A o x  B

 INTERSECCIÓN: A  B   x / x  A y x  B
 DIFERENCIA: A  B   x / x  A y x  B

 DIFERENCIA SIMÉTRICA: AB   A  B    B  A 
Propiedades de la unión y la intersección:

 A   B  C    A  B   C
 Asociativa: 
 A   B  C    A  B   C
A  B  B  A
 Conmutativa: 
A  B  B  A
A  A  A
 Idempotente: 
A  A  A
A  I  I
 Elementosínfimo y universal: 
A    

 A   A  B   A
 Absorción: 
 A   A  B   A
 A   B  C    A  B    A  C 
 Distributiva: 
 A   B  C    A  B    A  C 

-2-

E.I.I.C. - Álgebra

Tema 0: Los Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS DISJUNTOS Y COMPLEMENTARIO:
 CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos o más conjuntos se llaman
disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío
( A  B    ).
 CONJUNTO COMPLEMENTARIO: Se llama complementario
de un conjunto A y se denota por A al conjunto:

A   x / x  I y x  A
Propiedades:

A  A  I
 Complementariedad: 
A  A  

 Involución:  A   A

 A  B   A  B
 Leyes de Morgan: 
 A  B   A  B

0.2.- , , , , , 
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES  :

El conjunto de los números naturales, es un conjuntode referencia
formado por entes abstractos creados por nuestra mente, los cuales se
representan por ciertos signos que han ido evolucionando en el transcurso
del tiempo; 1, 2, 3, …, y que nos permite contar los elementos de cualquier
conjunto finito.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PRIMOS  :

Un número natural n  1 se llama primo o primo absoluto, si no
admite más divisores que él mismo y la unidad;2, 3, 5, 7, …
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS  :

Es el conjunto formado por todos los números naturales, sus
opuestos y el cero; … -2, -1, 0, +1, +2, …

-3-

E.I.I.C. - Álgebra

Tema 0: Los Conjuntos Numéricos

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES  :

Es el conjunto de todos los números que pueden representarse como
el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fraccióncomún);

a

   , a, b   / b  0 
b

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES  :

Es el conjunto de todos aquellos números que poseen una expresión
decimal. Incluye a todos los racionales y los irracionales, que son aquellos
números reales que no pueden expresarse mediante el cociente de dos
enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen
un periodo definido,...