Tema 4: Experimentos Aleatorios. Probabilidad

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TEMA 4: EXPERIMENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD


1. Experimento aleatorio. Espacio muestral asociado.

1. Concepto de experimento aleatorio.


Definición: Un fenómeno o experiencia se dice aleatorio cuando al repetirlo en condiciones análogas no se puede predecir el resultado.
Si por el contrario, se puede predecir el resultado de una experiencia aún antes derealizarla, se dice que el experimento es determinista.


Son fenómenos aleatorios:
- Extracción de una carta de la baraja.
- Lanzamiento de un dado.
- Respuestas a una encuesta.




2. Espacio muestral. Suceso elemental.


Definición: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral.Ejemplo: El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda al aire tres veces es:


[pic]


Cada elemento del espacio muestral E se llama suceso elemental.




3. Sucesos. Tipos de sucesos.

Definición: Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se llama suceso a todo subconjunto del espacio muestral E.Un suceso puede determinarse por extensión (enumerando los elementos) o dando una propiedad que se verifica por, y sólo por, los elementos de dicho subconjunto.
Diremos que un suceso A se verifica cuando al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los sucesos elementales de A.


El conjunto formado por todos los sucesos del espacio muestral se llamaespacio de sucesos (S). Es decir, el espacio de sucesos está formado por todos los subconjuntos del espacio muestral.


Ejemplo: Si la experiencia aleatoria es lanzar una moneda:


[pic] y [pic]


Los sucesos definidos por los conjuntos [pic] y [pic] se llaman suceso imposible y suceso seguro respectivamente. El suceso imposible es aquel que nunca se realiza, yel suceso seguro es el que se realiza siempre.
Dado un suceso A, se llama suceso contrario o complementario de A, y se representa por [pic], al suceso que se realiza cuando no se realiza A y recíprocamente.
El suceso contrario de E es [pic] y recíprocamente.
Un suceso A se dice que está contenido o inducido en otro B si siempre que se verifica A se cumple también B. Serepresenta [pic].


4. Operaciones con sucesos.


Unión de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama unión de A y B, y se representa por [pic], al suceso que se realiza cuando se realiza alguno de ellos, A o B.


Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama intersección A y B y se representa por [pic], al suceso que se realiza si y sólo se realizansimultáneamente A y B.


Dos sucesos A y B cuya intersección es el suceso imposible se llaman sucesos incompatibles. Obsérvese que un suceso y su contrario son siempre incompatibles.


Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama suceso diferencia de A y B, y se representa por [pic] , al suceso [pic]. O sea [pic]está formado por todos los sucesos elementales de Aque no están en B.




Propiedades de la unión e intersección de sucesos.


1. Asociativa: Unión [pic] ([pic])[pic]=[pic]([pic]
Intersección[pic]([pic])[pic]=[pic]


2. Conmutativa: Unión[pic][pic]=B[pic]A
Intersección[pic][pic]=B[pic]A


3. Idempotente: Unión [pic]A[pic]A =AIntersección [pic]A[pic]A =A


4. Simplificativa: A[pic][pic]=A ; A[pic](B[pic]A)=A


5. Distributiva: A[pic](B[pic]C)=(A[pic]B) [pic](A[pic]C) ,

A[pic](B[pic]C)=(A[pic]B) [pic](A[pic]C)


6. A [pic][pic]=E ; A [pic][pic]= [pic]










Consecuencias:


a) A [pic] [pic] =...
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