tema 6

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CAPITULO 6
Integral de¯nida
Licda. Elsie Hern¶andez Sabor¶³o
Instituto Tecnol¶ogico de Costa Rica
Escuela de Matem¶atica
¢ ¢ ¢
Revista digital Matem¶atica, educaci¶on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
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Cr¶editos
Primera edici¶on impresa: Rosario ¶Alvarez, 1988.
Edici¶on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac¶on y Lisseth Angulo.
Edici¶on y composici¶on ¯nal:Walter Mora.
Gr¶a¯cos: Walter Mora, Marieth Villalobos.
Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx
Contenido
6.1 Introduci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.2 La integral de¯nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.2.1 Propiedades fundamentales de laintegral de¯nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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6.1 Introduci¶on
Antes de abocarnos al estudio de la integral de¯nida y de la integral inde¯nida, daremos una peque~na semblanza
hist¶orica de la relaci¶on entre el c¶alculo diferencial y el integral.
A continuaci¶on transcribiremos algunos de los p¶arrafos al respecto tomados del libro La Matem¶atica: su con-
tenido, m¶etodos ysigni¯cado (que se menciona en la bibliograf¶³a).
Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem¶atica de las
magnitudes variables, al sentar las bases del c¶alculon diferencial e integral. "Este fue el verdadero comienzo
del an¶alisis, puesto que el objeto de este c¶alculo son las propiedades de las funciones mismas, distinto del ob-
jeto de lageometr¶³a anal¶³tica que son las ¯guras geom¶etricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz
fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que hab¶³an desarrollado hasta entonces muchos matem¶aticos
y que se extend¶³a hasta los m¶etodos de determinaci¶on de ¶areas y vol¶umenes empleados por los antiguos griegos".
"Aqu¶³ solo queremos llamar la atenci¶on acerca de los or¶³genes de estec¶alculo, que fueron principalmente los
nuevos problemas de la mec¶anica y los viejos problemas de la geometr¶³a, consistentes estos ¶ultimos en la deter-
minaci¶on de tangentes a una curva dada y el c¶alculo de ¶areas y vol¶umenes. Estos problemas geom¶etricos hab¶³an
sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arqu¶³mides), y tambi¶en por Kepler, Cavalieri, y otros, a
principios delsiglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci¶on entre estos dos
tipos de problemas y la formulaci¶on de un m¶etodo general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz.
Esta relaci¶on, que permiti¶o conectar los problemas de la mec¶anica con los de la geometr¶³a, fue descubierta gracias
a la posibilidad (brindada por el m¶etodo de coordenadas) de haceruna representaci¶on gr¶a¯ca de la dependencia
de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una funci¶on. Con la ayuda de esta representaci¶on
gr¶a¯ca es f¶acil formular la relaci¶on antes mencionada entre los problemas de la mec¶anica y la geometr¶³a (relaci¶on
que fue el origen del c¶alculo diferencial e integral) y describir as¶³ el contenido general de estos dos tipos dec¶alculo.
El c¶alculo diferencial es, b¶asicamente, un m¶etodo para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se
conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por "derivaci¶on" y es completa-
mente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia
respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a lapendiente de la tangente a la curva en el punto
correspondiente a t.
El c¶alculo integral es en esencia un m¶etodo para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad,
y en general, de encontrar el resultado total de la acci¶on de una magnitud variable. Evidentemente, este prob-
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lema es rec¶³proco del problema de c¶alculo diferencial (el problema de encontrar la...