Tema2

ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA
PARÁBOLAS HORIZONTALES Y VERTICALES CON CENTRO EN
EL ORIGEN.
OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS A PARTIR DE LA ECUACIÓN

La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje en el eje X
(llamada parábola horizontal), es:
Donde el foco es el punto (p,0) y la ecuación de la directriz es x=-p. Si p>0,
la parábola se abre hacia a la derecha; si p<0, la parábola seabre hacia la
izquierda.
Si el eje de una parábola coincide con el eje Y (llamada parábola vertical),
y el vértice está en el origen, su ecuación es:

Donde el foco es el punto (0,p), y la ecuación de la directriz es y=-p. Si p>0,
la parábola se abre hacia arriba; si p<0, la parábola abre hacia abajo.
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de
4p, que es elcoeficiente del término de primer grado.

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN A PARTIR DE LOS ELEMENTOS

A partir de la ecuación de la parábola podemos obtener todos sus
elementos como en los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS RESUELTOS
[1] Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el
eje Y, por el punto (4,-2). Hallar la ecuación de la parábola, las
coordenadas de su foco, la ecuación de sudirectriz y la longitud de su lado
recto. Trazar la gráfica correspondiente.

Solución

La ecuación de la parábola es de la forma
ya que el eje focal coincide con el eje Y.
Como la parábola pasa por el punto (4,-2), las coordenadas de este punto
deben satisfacer la ecuación (1), y entonces tenemos que 16=4p (-2), de
donde, p=-2 y la ecuación obtenida es: x2=-8y.
También el foco es el punto (0,p), o sea, (0,-2), la ecuación de la directriz
es y=-p, o sea,
y=2, y la longitud del lado recto es 4 p  8.

En cada uno de los ejercicios 1-4, hallar las coordenadas del foco, la
ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada.
[4] y2=12x.

Solución
Para hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz basta con
encontrar el valor de p. La ecuación tiene laforma de una parábola
horizontal (y2=4px), por lo que 4p=12 y de donde p=3; por lo tanto las
coordenadas del foco son (p,0), es decir, (3,0) y la ecuación de la directriz
es x=-3. La longitud del lado recto está dada por 4 p , es decir, la longitud
del lado recto es 4(3)  12  12 .
[5] x2=12y.

Solución
La ecuación tiene la forma de una parábola vertical (x2=4py), por lo que
4p=12 y p=3; por loque las coordenadas del foco son (0, p), es decir, (0,3)
y la ecuación de la directriz es y=-3. La longitud del lado recto es
4 p  4(3)  12  12 .
[6] y2+8x=0.

Solución
Pasando el término 8x al lado derecho de la igualdad tenemos que y 2=-8x.
La ecuación tiene la forma de una parábola horizontal (y2=4px) por lo que
4p=-8 y así p=-2. Entonces las coordenadas del foco son (-2,0) y la
directrizes x=-2. La longitud del lado recto es 4 p  4(2)   8  8 .
[7] x2+2y=0.
Solución
Tenemos que x2=-2y por lo que 4p=-2 y entonces p=-1/2. Como es una
parábola vertical las coordenadas del foco son (0,-1/2) y la directriz es
y=1/2. La longitud del lado recto es 4 p  4(1/ 2)   4  4 .

PARÁBOLAS HORIZONTALES Y VERTICALES CON
CENTRO FUERA DEL ORIGEN.
OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS A PARTIR DE LAECUACIÓN.

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la
forma: ( y  k )2  4 p( x  h)

Siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el
vértice.
Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha; si p<0, la parábola se abre
hacia la izquierda.
Si el vértice es el punto (h,k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su
ecuación es de laforma: ( x  h)2  4 p( y  k ) .
Si p>0, la parábola se abre hacia arriba; si p<0, la parábola se abre hacia
abajo.

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN A PARTIR DE LOS ELEMENTOS.

A partir de la ecuación de una parábola con centro fuera del origen
podemos obtener todos sus elementos como en los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS
[1] La ecuación de la parábola con vértice en (3,2), lado recto igual a 8 y...