Tema3 Equa Sp

Ecuaciones Diferenciales
Jos´e Vicente Romero Bauset
jvromero@mat.upv.es

Tema 3: Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales lineales
Una EDO F t, y , y , . . . , y (n) = 0 se dice que es lineal si F es una funci´on
lineal de y , y , . . . , y (n) , es decir, la ecuaci´
on diferencial se puede escribir como
an (t)

d ny
d n−1 y
dy
+
a(t)
+ · · · + a1 (t) + a0 (t)y = b(t).
n−1
n
n−1
dt
dt
dt

Ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de grado n
Si b(t) = 0 la ecuaci´on
d ny
d n−1 y
dy
+
a
(t)
+ · · · + a1 (t) + a0 (t)y = 0.
n−1
dt n
dt n−1
dt
se tiene una ecuaci´on diferencial homog´enea.
an (t)

Si se introduce la aplicaci´on L : C n ([a, b]) → C ([a, b])
d ny
d n−1 y
dy
+
a
(t)
+ · · · + a1 (t) + a0 (t)y
n−1
n
n−1
dt
dt
dt
unaEDO lineal de orden n puede escribirse como Ly = b(t)
y su homog´enea asociada como Ly = 0.
Ly := an (t)

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales lineales
Proposici´on
a) L es una aplicaci´on lineal.
b) Si y1 e y2 son soluciones de Ly = 0, y si C1 y C2 son n´
umeros reales,
entonces C1 y1 + C2 y2 es tambi´en soluci´
on de Ly = 0.
Soluci´on general
La soluci´on general de la ecuaci´
onLy = b(t) puede escribirse como
y = yh + yp ,
donde yh es la soluci´on general de la ecuaci´
on homog´enea Ly = 0, e yp es una
soluci´on particular de la ecuaci´
on no homog´enea.
Nota
La proposici´on anterior proporciona un mecanismo de obtenci´on de la soluci´on
de la ecuaci´on Ly = b(t) en dos pasos. En primer lugar se resuelve la ecuaci´on
homog´enea Ly = 0 y en segundo lugar basta conencontrar una soluci´on de la
ecuaci´on no homog´enea Ly = b(t).
Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea
Nota
En lo que resta de tema supondremos que en el intervalo en que estamos
trabajando
i) Los coeficientes ak (t), k = 0, 1, . . . , n y b(t) son funciones continuas.
ii) an (t) = 0
Llamamos SH al conjunto de soluciones de la ecuaci´
on homog´enea Ly = 0,es
decir
SH = {y (t) : y (t) es soluci´
on de Ly = 0} .
SH es un subespacio vectorial.
Consideremos en el intervalo I la ecuaci´
on diferencial
an (t)

d ny
d n−1 y
dy
+
a
(t)
+ · · · + a1 (t) + a0 (t)y = 0.
n−1
n
n−1
dt
dt
dt

Entonces, el subespacio vectorial SH es de dimensi´
on n.
Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea
Nota
La propiedad anterior ponede manifiesto la existencia de n soluciones
linealmente independientes de Ly = 0.
Si y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) son n soluciones linealmente independientes de Ly = 0,
cualquier soluci´on de Ly = 0 se obtiene a partir de
y = C1 y1 (t) + C2 y2 (t) + · · · + Cn yn (t)
para determinados valores de las constantes C1 , C2 , . . . , Cn .
La expresi´on
y = C1 y1 (t) + C2 y2 (t) + · · · + Cn yn (t)recibe el nombre de soluci´
on general de Ly = 0.
Al conjunto de las n soluciones independientes {y1 , y2 , . . . , yn } se le llama
sistema fundamental de soluciones de Ly = 0.
Ecuaciones Diferenciales

Soluciones linealmente independientes
Wronskiano
Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones reales definidas en [a, b] derivables hasta el orden
n − 1, entonces se llama wronskiano de tales funciones a

f1 (x)
f2 (x)
···
fn (x)
 f1 (x)

f2 (x)
···
fn (x)


W (x) = det 
.
..
..
..


.
.
.
f1 (x)(n−1) f2 (x)(n−1) · · · fn (x)(n−1)

Si existe un punto x0 ∈ [a, b] tal que W (x0 ) = 0, entonces las funciones
f1 , f2 , . . . , fn son linealmente independientes.
Si y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) son soluciones de Ly = 0 en el intervalo I , entonces
y1 , y2 , . . . , yn son independientes si y s´olo si su wronskiano es distinto de cero
en todo I .
Ejemplo
El conjunto de funciones eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x

son LI sii λi = λj para i = j

Ecuaciones Diferenciales

Soluciones linealmente independientes
Sea y1 una soluci´on no nula de la siguiente ecuaci´
on en [a, b]
an (t)y (n) + · · · + a1 (t)y + a0 (t)y = 0.
La transformaci´on y (t) = ν(t)y1 (t) reduce la ecuaci´
on a una de...