Tema6 AlgebraBOOLE

TEMA 6. ALGEBRA DE BOOLE

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María Jesús Martín Martínez : mjmm@usal.es

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TEMA 6 - ALGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS

6.1. Introducción
6.2. Álgebra de Boole
6.3. Análisis booleano de circuitos lógicos. Tablas de
verdad
6.4. Algoritmos desimplificación de expresiones lógicas
6.5. Implementación de funciones lógicas mediante puertas
lógicas

María Jesús Martín Martínez : mjmm@usal.es

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TEMA 6. ALGEBRA DE BOOLE
La Electrónica Digital
booleanas

6.1. INTRODUCCIÓN

la realización electrónica (implementación) de funciones

En esta lección vamos a plantear el formalismo asociado al Álgebra de Boole.

PASOS:
Inicialmenteestableceremos las bases matemáticas asociadas al Álgebra de Boole.
Después analizaremos la representación de las variables lógicas por magnitudes
físicas, indicando los módulos mínimos para la síntesis de funciones.
Estudiaremos algún método para simplificar en alguna forma las funciones booleanas.
Por último, se realiza su implementación circuital.

El álgebra booleana son reglas algebraicas, basadas en lateoría de conjuntos,
para manejar ecuaciones de lógica matemática.
La lógica matemática trata con proposiciones, elementos de circuitos de dos estados,
etc., asociados por medio de operadores como Y, O, NO, EXCEPTO, SI...
Permite cálculos y demostraciones como cualquier parte de las matemáticas.
Es llamada así en honor del matemático George Boole, que la introdujo en 1847.

María Jesús MartínMartínez : mjmm@usal.es

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6.2. ALGEBRA DE BOOLE Y BINARIA

DEFINICION de Algebra boole :
Se dice que un conjunto de elementos B, en el que existen definidas dos operaciones
binarias (que representaremos por + y por •) tiene estructura de Álgebra de Boole si y solo
si se cumplen los siguientes cuatro postulados:
Las operaciones + y • son conmutativas.

a+b=b+a

Ejemplo:

ya•b=b•a

Existen en B dos elementos neutros, que denotaremos por 0 y 1, para las operaciones
+ y •, respectivamente.
a+0= a
y
a• 1= a
Cada operación es distributiva con respecto a la otra (expresa el proceso de sacar
factor común).

a(b+c) = ab + ac

Ejemplo (tres variables):

Para cada elemento

a

de B existe un

a

tal que:

a +a =1 y a•a = 0

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6.2. ALGEBRA DE BOOLE Y BINARIA

En Electrónica Digital estamos interesados en el Álgebra de Boole establecida
en el conjunto B = {0,1}

con las operaciones + y • definidas por:

+

0

1

0

1

1

•
0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

Estas operaciones se cumplen los 4 postulados anteriores.Llamaremos:
AND (Y lógico) a la operación •
OR (O lógico) a la operación +
NOT (NO lógico)a la operación de complementación.
NOTA; Por simplicidad, de ahora en adelante usaremos la representación xy en vez de la x•y para la
composición de las variables x e y mediante la operación •.

La Electrónica Digital: estudio y realización de circuitos que realicen las funciones
AND, OR, NOT y sus combinaciones.
María Jesús Martín Martínez : mjmm@usal.es

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6.2.ALGEBRA DE BOOLE Y BINARIA

Existen una serie de teoremas, válidos en cualquier álgebra de Boole, que
vamos a enunciar y que no demostraremos, los cuales nos serán de gran utilidad
para la simplificación de funciones:
Teorema 1. Principio de dualidad: Cada proposición o identidad algebraica deducible
de los postulados del Álgebra de Boole permanece válida si:
cambiamos entre si las operaciones + y •,
ytambién cambiamos entre si los elementos neutros 0 y 1.

x+x = x

xx = x

Teorema 3.

x +1 = 1

x0 = 0

Teorema 4. Ley de absorción

x + xy = x

x( x + y ) = x

Teorema 2.

x + ( y + z) = ( x + y) + z

Teorema 5.
Asociatividad de las operaciones + y •

x( yz ) = ( xy ) z

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Teorema 6. El elemento
Teorema 7.

x

6.2....