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´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FUNCIONES

1. Funciones Una funci´n consta de dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, y de una regla de correso pondencia que permite asociarle a cada elemento del dominio un unico elemento del contradominio. ´ Se llama variable independiente a una letra cualquiera, por ejemplo x, que representa a cualquiera de los elementos del dominio. Si denotamosa la regla de correspondencia de la funci´n con una letra, por ejemplo f , denotaremos o al dominio como Df , al rango como Rf y al elemento del contradominio que le asociamos a x como f (x) ( se lee f de x) y a esta variable f (x) ´ y la llamaremos variable dependiente o Llamamos rango de una funci´n al subconjunto del contradominio de la funci´n constituido por los o o elementos que han sidoasociados a alg´n elemento del dominio bajo la regla de correspondencia u dada. Si el contradominio es un subconjunto de los n´meros reales diremos que la funci´n es real. u o Si el dominio es un subconjunto de los n´meros reales diremos que la funci´n es de variable real. u o Para las funciones reales de variable real definidas mediante una f´rmula sin m´s especificaciones, o a sobreentenderemos queel dominio es el subconjunto de los n´meros reales para los cuales la f´rmula u o tiene sentido. ´ 2. Algebra de funciones Para la funciones reales, el ´lgebra de los n´meros reales induce un ´lgebra entre las funciones: a u a (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f − g)(x) = f (x) − g(x) (f · g)(x) = f (x) · g(x) f g El dominio de todas esta funciones es Df Con excepci´n del cociente en el que a Df o x ∈ Dgtales que g(x) = 0. Dg Dg hay que quitarle las ra´ ıces o ceros de g, i.e., los (x) = f (x) g(x)

´ 3. Composicion de funciones Podemos definir una nueva funci´n, la composici´n de g seguida de f , denotada por f ◦ g, que tiene o o como dominio un subconjunto Df ◦g del dominio de g y como contradominio el de f y que a cualquier elemento x ∈ Df ◦g le hace corresponder f [g(x)]
canek.azc.uam.mx:29/ 10/ 2003.
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FUNCIONES

As´ ı: (f ◦ g)(x) = f [g(x)] En general tenemos: Df ◦g = x ∈ Dg g(x) ∈ Df
def

´ ´ 4. Grafica de una funcion real de variable real

Gf =

def

(x, y) ∈ R 2 x ∈ Df & y = f (x)

Una condici´n necesaria y suficiente para que una curva plana sea la gr´fica de una funci´n es que o a o cualquier recta vertical corte a la curva en a lo m´s un punto. a Estoes, la recta vertical x = a debe cortar a la curva en un punto si a ∈ Df . En caso contrario, si a ∈ Df entonces la recta vertical x = a no corta a la curva. As´ una curva de esta forma: ı

No puede ser la gr´fica de funci´n alguna, pues hay ciertas rectas verticales que la cortan en tres a o puntos. Recordemos que la proyecci´n ortogonal de un punto sobre un eje es el punto donde la perpendicularo al eje que pasa por el punto corta al eje.

FUNCIONES

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A∗ es la proyecci´n ortogonal de A sobre el eje x. o Dada la gr´fica de una funci´n f (x), la proyecci´n ortogonal de todos sus puntos sobre el eje x es a o o o o el dominio Df de la funci´n y su proyecci´n ortogonal sobre el eje y es su rango Rf . a Adem´s dado un punto a ∈ Df , la ordenada del punto donde la recta x = a corta ala gr´fica de la a funci´n f (x) es f (a). o

Df = A∗ D ∗

E ∗ C ∗∗ ; Rf = B ∗ C ∗

De manera que dada la gr´fica de una funci´n la conocemos completamente, pues podemos detera o minar su dominio y su rango y dado a ∈ Df podemos hallar f (a).

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FUNCIONES

´ 5. Funcion definida por partes A veces la regla de correspondencia de la funci´n no es unica, esto es, el dominio de la funci´n o´ o est´ descompuesto en partes ajenas por pares y en cada una de ellas est´ definida una regla de a a correspondencia diferente. Ejemplo.f (x) = | x | = Df = R, Rf = R+ {0}, los reales no negativos. x si x ≥ 0 −x si x < 0

Ejemplo.La funci´n de Heaviside (1850-1925): o H(t) = 0 si t < 0 1 si t ≥ 0

Ejemplo.E(x) = n donde n es el entero tal que x − 1 < n ≤ x Esta funci´n se llama “el mayor...
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