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MATEMATICAS I
TECNOLOGICO SPEEDWRITING

Prof. Andy González Reyes

Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos
1 PARCIAL

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Proposiciones
Proposición es una afirmación de la cual podemos decir
que es falsa, o bien que es verdadera, pero no ambas cosas. EJEMPLOS: Son proposiciones

Proposiciones
De aquí en adelante, denotaremos a una proposición mediante una letra (como p, q, r,etc.), posiblemente con algún subíndice Para cada proposición hay dos posibles valores de verdad que le podemos asignar: V (verdadero) ó F (falso) y si tenemos una proposición p a la cual se le ha asignado el valor de verdad V (o bien, el valor F), diremos también que p es verdadera (o que es falsa).

No son proposiciones d) “x + 2 = 3”. e) “¿Qué hora es?”. f) “20 ÷ 3”. g) “Esta afirmación esfalsa”

a) “Tepic es la capital de Nayarit”. b) “Hay vida en Marte”. c) “4 + 5 = −8”.

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Conectivos lógicos y tablas de verdad
Podemos formar nuevas proposiciones a partir proposiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos. Algunos de ellos son: ∧ ∨ ⇒ ⇔ ¬ “y” “o” “si —, entonces” “si y sólo si” “no” conjunción disyunción implicación doble implicación negación

Sean P y Qproposiciones. Formamos una nueva proposición, ¬P (que se lee “no P”), y la llamamos la negación de P. También podemos formar una nueva proposición usando cualquiera de estos símbolos:

∧, ∨, ⇒ y ⇔
Cada una de estas proposiciones se denota y llama por: (P ∧ Q) (P ∨ Q) (P ⇒ Q) (P ⇔ Q) la conjunción de P y Q la disyunción de P y Q la implicación de P y Q la doble implicación de P y Q

El significadoque les damos trata de acercarse al uso común tanto como sea posible.

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Tablas de verdad
El valor de verdad que le asignamos a cada una de las proposiciones compuestas depende de los valores de verdad asignados a las proposiciones más simples que las forman, tal como se establece en las tablas de verdad siguientes: p V V F F q V F V F ¬p F F V V p∧q V F F F p∨q V V V F p⇒q V F V Vp⇔q V F F V

EJEMPLO: Construyamos la tabla de verdad de la proposición P:= (p1 ⇒ p3) ⇔ (¬p1 ∨ ¬p3) p1 V V F F p3 V F V F ¬p1 F F V V ¬p3 F V F V p1 ⇒ p3 V F V V ¬p1 ∨ ¬p3 F V V V P F F V V

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La Isla de los Caballerosos y los Bribones
Es una isla en la que hay sólo dos tipos de individuos: • • Los (o las) caballerosos, que siempre dicen la verdad Los (o las) bribones, que siempremienten

McGregor tocó una puerta. El marido salió y preguntó qué deseaba. “Estoy realizando un reportaje sobre los habitantes de la isla”, replicó McGregor. ¿Podría información Necesitodecirme cuál de ustedes es, si acaso, un caballeroso y cuál es sobre usted y su esposa. un bribón?

El reportero McGregor ha ido de visita a la isla para interrogar a sus habitantes

¡Los dos somos bribones!
¿Decuál tipo es el marido y de cuál es la esposa?

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McGregor fue a la casa siguiente y le preguntó al marido: ¿Son bribones los dos?

La siguiente casa visitada por McGregor resultó aún más intrigante. Ahí le preguntó al marido: ¿Puede decirme algo acerca de usted y su esposa? Si yo soy caballeroso, entonces también lo es mi esposa.

Al menos uno de los dos lo es.
¿De cuál tipo escada uno?

¿De cuál tipo es el marido y de cuál es la esposa?

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Tautologías y contradicciones
Sea T una proposición que se forma con las n letras proposicionales p1, p2 , ... , pn usando los conectivos ya definidos. Decimos que T es una tautología si T es verdadera para todas las asignaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones que la forman. Llamamos contradicción auna proposición C cuya negación ¬C es una tautología. Evidentemente, una contradicción es una proposición falsa para todas las asignaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones que la forman

EJEMPLO: p V V F F q V F V F

La proposición T:= (p ⇒ q) ⇔ ((p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r)) es una tautología: ¬q F V F V p ∧ ¬q p ⇒ q (p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r) F V F F V F V V V F V V T V V V V

Esta...
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