Teoría de carteras

TEORÍA DE CARTERAS

Modelo de Markowitz

El modelo de Markowitz es considerado la primera formalización matmática de la idea de la diversificación de inversiones, es decir, el riesgo puede reducirse sin cambiar el rendimiento esperado de la cartera. Para ello se parte de los siguientes supuestos básicos:

1. El rendimiento de cualquier título o cartera es descrito por una variablealeatoria subjetiva, cuya distribución de probabilidad para el período de referencia es conocida por el inversor.

2. El riesgo de un título o cartera vienen medido por la varianza (o desv. Típica) de la variable aleatoria representaiva de su rendimiento.

3. El inversor preferirá aquellos activos financieros que tengan un mayor rendimiento para un riesgo dado, o un menor riesgo para un rendimientoconocido. A esta regla de decisión se le conoce como conducta racional del inversor.

Actitud frente al riesgo: se basa en el supuesto teórico en el que el comportamiento de un inversor se caracteriza por el grado de aversión al riesgo que tenga y el grado de maximización de utilidades que espera. Existen tres posiciones hacia el riesgo, aversión al riesgo que hace referencia a cuando el inversorelegirá una inversión con el menor grado de riesgo frente a dos alternativas con el mismo nivell de rentabilidad esperada, propensión al riesgo que en este caso, el inversor elegirá aquella con mayor grado de riesgo frente a dos alternativas con el mismo nivel de rentabilidad esperada, y los neutrales al riesgo, donde se mantendrán indiferentes si tuvieran que elegir entre dos alternativas con elmismo nivel de rentabilidad esperada.

Planteamiento matemático del modelo de Markowitz: El modelo tiene su base en el comportamiento racional del inversor. Es decir, el inversor desea la rentabilidad y rechaza el riesgo. Por tanto, una cartera eficiente es aquella que proporciona la máxima rentabilidad posible para un riesgo dado o si presenta el menor riesgo posible para un nivel determinadode rentabilidad.

Max Ep = ∑ xi Ei Min σ2p = ∑ ∑ xi xj σij
i=1 i=1 j=1

Sujetas a:
σ2p = ∑ ∑ xi xj σij = V* Ep = ∑ xi Ei = E*
i=1 j=1
Restricciones:
∑ xi = 1 xi ≥ 1 (i = 1, 2, …, n)
i=1

Donde:
σ2p es la varianza de la cartera p
Ep es la rentabilidad esperadade la cartera p
xi es la proporción del presupuesto del inversor destinado al activo financiero i
σij es la covarianza entre los rendimientos de los activos i y j
V* y E* son los parámetros a estimar, lo que implica que los resultados de los valores de ambas variables determinarán cuál es la mejor cartera para cada valor

Por tanto, el conjunto de pares [ Ep, σ2p] o distintascombinaciones de rentabilidad riesgo de todas las carteras eficientes que tienen forma de curva cóncava reciben el nombre de frontera eficiente. En esta frontera eficiente estarán todas aquellas carteras que proporcionan el máximo rendimiento con un riesgo mínimo.

Para determinar la cartera óptima (tangente a la frontera eficiente con la más alta curva de utilidad/satisfacción del inversor) de uninversor en particular necesitaremos específicar sus curvas de indiferencia entre el rendimiento y el riesgo asociado, cuya forma dependerá de su función de utilidad y ésta será, naturalmente, distinta para cada inversor.


Las curvas de indiferencia son funciones geométricas que describen todas las combinaciones posibles de las cantidades de dos bienes, en este caso dos activos, que leproporcionan al consumidor el mismo nivel de utilidad o satisfacción.







Si calculamos e incorporamos los parámetros V* y E*, obtendremos los valores de las proporciones en las que tenemos que distribuir el presupuesto de inversión para obtener la cartera óptima del inversor. La frontera eficiente será igual para todos los inversores, en cambio la cartera óptima será distinta para...