Teoría De Grafos

Estructura algebraica:
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.
En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.
Principales estructuras algebraicas:
Las estructuras algebraicas se clasifican según laspropiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado.
- Con una ley de composición interna:
Magma: Un Magma (o grupoide) es una estructura algebraica de la forma con A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna: o.
Siendo esta ley de composición una operación interna:
Operación interna: para cualquier par ordenado de elementos del conjunto AxA operados con, elresultado pertenece al conjunto A. Es decir:
.
Semigrupo: es un sistema algebraico de la forma donde A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna. Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:
Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo, el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:
.
Asociatividad: paracualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir
: .
Si además se cumple la propiedad conmutativa:
Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:
.
Cuasigrupo: es una estructura algebraica similar a un grupo enel sentido de que la "división" es siempre posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos en que no poseen la propiedad asociativa. Un cuasigrupo con elemento neutro se llama bucle.
Monoide: un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y un elemento neutro. Los monoides son estudiados en la teoría de grupos, ya que en realidad, son semigrupos con unelemento neutro.
Grupo: es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad yelemento inverso.
Grupo abeliano: Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: Se dice que la estructura es un Grupo abeliano con respecto a la operación si:
1 tiene estructura algebraica Grupo
2 tiene la Propiedad conmutativa.
-Con dos leyes de composición interna:
Semianillo: Un semianillo es una estructura algebraica másgeneral que un anillo.
Ejemplo: Dado un conjunto A y dos operaciones binarias + y ·, llamadas adición y multiplicación, la 3-tupla (A,+, ·) es un semianillo si satisface las siguientes condiciones:
(A,+) es un monoide conmutativo con 0 como elemento neutro; es decir:
1. (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c en A (asociatividad)
2. a + b = b + a para todo a, b en A (conmutatividad)3. 0 + a = a + 0 = a para todo a en A (elemento neutro)
(A,·) es un monoide con 1 como elemento neutro; es decir:
1. (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c en A (asociatividad)
2. a · 1 = 1 · a = a para todo a en A (elemento neutro).
La multiplicación distribuye sobre la adición; es decir:
1. a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en A (distribución por la izquierda)2. (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c en A (distribución por la derecha).
0 es elemento absorbente con respecto a la multiplicación; es decir:
1. 0 · a = a · 0 = 0.
Entonces, un anillo es un semianillo en el que todo elemento tiene un inverso aditivo u opuesto.
Anillo: es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto: (A+,*); de...