Teoría de muestreo

TEORÍA DEL MUESTREO

La teoría del muestreo estudia la relación entre una población y las muestras tomadas de ésta. Ésta es de gran utilidad en varios campos a los que se aplica, por ejemplo, para estimar magnitudes o características desconocidas de una población, como la varianza y la media, los cuales son comúnmente llamados parámetros que son conocidos a través de magnitudes sobre lasmuestras, que son llamados estadísticos.
Con ayuda de la teoría del muestreo se puede determinar si las diferencias observadas entre dos muestras son debido a variaciones fortuitas o si son realmente significativas.
Un estudio de las inferencias hechas sobre una población a partir de un numero de muestras suyas con indicaciones de la precisión de tales inferencia, se llama inferencia estadística.El muestreo se realiza por la necesidad de:
1. Población Infinita
2. Población uniforme
3. Proceso de investigación destructiva
4. Economía de costos
5. Calidad

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Supóngase que son extraídas de una población finita todas las posibles muestras sin remplazamiento de tamaño N, siendo el tamaño de la población Np> N. Si se denota la media y la desviacióntípica de la distribución muestral de medias por y y la media y la desviación típica de la población por µx y σx , respectivamente, se tiene:
y
Si la población es infinita o si el muestreo es con remplazamiento, los resultados anteriores se convierten en:
y
Para valores grandes de N(N ≥ 30) la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal con media ydesviación típica independiente de la población de que se trate (siempre que la media y la varianza poblacional sean finitas y el tamaño de la población sea al menos dos veces el tamaño de la muestra). Este resultado en una población infinita es un caso especial del teorema central del límite de teoría de probabilidad superior que demuestra que la aproximación es tanto mejor conforme N se hace mayor.Esto se indica diciendo que la distribución muestral es asintóticamente normal.
Estimación estadística
La estimación es el conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esamisma característica para una muestra de tamaño n.
Los procedimientos de estimación pueden dividirse en dos tipos:

Estimación puntual: la estimación se representa mediante un solo número.

Estimación por intervalo: la estimación se representa mediante dos números que determinan un intervalo sobre la recta.

Ejemplo. Se quiere estimar la altura media de los alumnos de un determinado curso.Se puede dar la estimación diciendo que la altura media es de 1.65 m (estimación puntual) o bien decir que la altura media estará entre 1.6 m y 1.7 m (estimación por intervalo).

Un estimador es una regla que expresa cómo calcular la estimación, basándose en la información de la muestra y se enuncia, en general, mediante una fórmula.

Un estimador puntual utiliza los datos de la muestra paraobtener un número que estima el valor del parámetro.
Un estimador por intervalo utiliza los datos de la muestra para obtener dos valores numéricos entre los cuales se supone que está el valor del parámetro estimado.

EJEMPLO:

500 bolas de cojinete tienen un peso medio de 5,02 gramos (g) y una desviación típica de 0,30 g. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 bolas de eseconjunto tenga un peso total (a) entre 496 y 500 g y (b) más de 510 g.




Solución:

Para la distribución de muestreo de medias, y



(a) El peso total estaría entre 496 y 500 g si el peso medio de las 100 bolas está entre 4,96 y 5 g.

4,96 en unidades estándar =
5,00 en unidades estándar =

Probabilidad pedida= (área entre z= -2.22 y z= -0,74)
= (área entre z= -2,22 y z=0)...