Teor A De La Dualidad Blog

Teoría de la dualidad
El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema. Entonces la doble formulación de la programación lineal no se debe considerar como un simple ejercicio matemático, sino que una y otra versión delproblema vienen a explicar dos aspectos económicos distintos para una misma situación problemática. Una propiedad fundamental de la relación entre el primal y el dual es que la solución óptima de cualquiera de estos problemas proporciona la solución óptima para el otro.
Dualidad

El concepto de dualidad desempeñaimportantes papeles dentro de la programación lineal (también en la no lineal), tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Todo programa lineal lleva asociado otro programa lineal conocido como su programa dual; el programa inicial se conoce también como programa primal.


IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD

La importancia de la teoría de la dualidad se puede resumir, entre otros aspectos, en losiguiente:
Permite resolver problemas de programación lineal de forma más rápida y sencilla.
Es otra vía para resolver un problema de programación lineal.
Facilita profundizar en el contenido económico del problema original (primal).
Puede ser utilizada para resolver el caso en que se debe considerar la introducción de una nueva variable en el primal una vez que ha de sido obtenida la soluciónóptima, sin tener que resolver completamente el problema.




RELACIONES ENTRE EL METODO PRIMAL Y DUAL
De lo anteriormente expuesto se puede deducir que existe una estrecha relación entre el problema primal y dual que puede expresarse en lo siguiente:
El dual tiene la matriz D transpuesta, es decir, si suponemos que D es de orden sx r, entonces Dt es de orden r x s. Además las variables del primaly el dual son diferentes, ya que X será un vector de r-componentes mientras que el vector Y tendrá s-componentes.
Los términos independientes del conjunto de las restricciones del problema primal forman los coeficientes de la función objetivo del dual.
Los coeficientes de la función objetivo del primal forman los términos independientes de las restricciones del dual.
Las restricciones del dualcambian su sentido al igual que el criterio de optimización en términos de mínimo o máximo.
A cada restricción del problema primal le corresponde una variable dual y análogamente a cada restricción del dual le corresponde una variable del primal.
Si se halla el dual del problema dual, obtendremos el problema primal.

TABLA DE TUCKER
TABLA DE TUCKER








NOTACIÓN MATEMÁTICANotación primal

min cx
Ax >= b
x >= 0

Notación dual

max b'z
A'z <= c'
z >= 0


TEOREMAS DE LA DUALIDAD
TEOREMA DE DUALIDAD DÉBIL: En general, el valor de cualquier solución factible del problema de minimización, provee una cota superior del valor óptimo del problema de maximización. Análogamente, el valor de la función objetivo de cualquier solución factible del problema demaximización es una cota inferior del valor óptimo del problema de minimización.
TEOREMA DE DUALIDAD FUERTE: En el óptimo el valor de la función objetivo del problema primal será igual al valor de la función objetivo del problema dual evaluada en la solución dual óptima. Si el problema primal es no acotado, entonces el dual es infactible. Alternativamente si el problema primal es infactible, entoncesel dual es no acotado.
TEOREMA DE HOLGURAS COMPLEMENTARIAS: Una variable en el primal está asociada a una restricción en el dual (y viceversa). En este sentido si en el primal existe una variable no básica (valor igual a cero), en el dual la restricción asociado no está activa, es decir, no se cumple en igualdad. Análogamente, si la variable es básica en el primal, la restricción asociada en...