Teorema de bayes

Ejercicios de Probabilidad Condicional y

Teorema de Bayes
Para el curso de Métodos Cuantitativos Aplicados a la Administración Maestría en Administración Programa de Posgrado en Ciencias de la Administración Universidad Nacional Autónoma de México Prof. Carlos Rodríguez Contreras Con apoyo de Manuel Quintero (alumno del semestre 2009-2)

Contenido

Probabilidad (muy, muy básica)......................................................................... 3 Probabilidad Condicional ................................................................................. 4 Teorema de Bayes............................................................................................. 7 Construyendo árboles ..................................................................................... 7Ejercicios para resolver ............................................................................. 17

Ensayo sobre Teorema de Bayes
A manera de introducción, será interesante hablar un poco sobre la probabilidad condicional y sus elementos, de tal forma que tanto la notación como las operaciones concernientes a la aplicación del Teorema de Bayes sea algo más claro.

Probabilidad (muy, muybásica)
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.i Espacio muestral es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado.ii Esto es, todos los posibles resultados que elexperimento puede tener. Evento es aquel estado del que puede obtenerse un valor de probabilidad, y es denotado en general por la letra E, a la vez que su probabilidad se denota por P(E). Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso (o evento).iii Así un evento puede ser un resultado (evento elemental o simple) o un conjunto de ellos (evento compuesto). Por ejemplo, supongamos que tenemos un mazode naipes de 52 cartas, como sabemos existen cuatro palos, dos rojos (diamantes y corazones) y dos negros (picas y tréboles). Cada uno cuenta con 13 cartas (números del 2 al 10, J, Q, K y As).

iv

Ahora definamos como evento que al azar obtengamos el as de tréboles (sería un evento simple). Éste será nuestro evento . ¿Cuál sería su probabilidad, es decir P(E)?

Es evidente que entre las 52cartas solo existe un as de tréboles, por lo que su probabilidad sería 1 en 52, es decir: 1 52 Se pueden definir diferentes eventos (simples o compuestos) de todos los espacios muestrales. Supongamos los siguientes: ( )= Ejemplo 1 : Sacar al azar cualquier as. Como existe 4 ases, entonces: ( )= 1 4 = 52 13

Ejemplo 2 : Sacar al azar cualquier carta negra. La mitad de las cartas son negras, esdecir, 26, por lo que: ( Ejemplo 3 : Sacar al azar cualquier figura. En cada palo existen 3 figuras (J, Q, K), y el mazo cuenta con 4 palos, entonces: ( Ejemplo 4 : Sacar al azar un número par. El mazo tiene solo ciertos números pares (2, 4, 6, 8 y 10), con 4 palos tendremos que: ( )= 5 × 4 20 10 5 = = = 52 52 26 13 )= 3 3 × 4 12 = = 52 52 13 )= 26 1 = 52 2

Probabilidad Condicional
A partir delo anterior, podemos obtener la probabilidad de que un evento ocurra. Pero algunas veces se desearía calcular la probabilidad de un evento de un espacio muestral con relación a otro evento del mismo espacio muestral. Es decir, si se tiene información a priori acerca de que el resultado debe estar en un conjunto F, esta información debe emplearse para volver a estimar el valor de la verosimilitud deque el resultado también estará en . Esta nueva estimación se

denota por ( | ) y se lee como “La probabilidad condicional de E dado F”, y representa la respuesta a la pregunta “¿Qué tan probable es que ocurra E dado que ocurrió F?” Volviendo al ejemplo de los naipes. Ya sabemos que si definimos el evento E como sacar el as de tréboles, su probabilidad es ( )= 1 52

Ahora supongamos que...