Teorema de bisección

Índice:

Introducción Página 3

Desarrollo Página 4

Descripción general del teorema de bisección Página 5

Teorema de Bolzano Página 5

Teorema del Valor intermedio Página 5 y 6

Bisección:

¿Para que sirve? Página 7

Condiciones en que se aplica Página 8

Método general Página 9Algoritmo Página 10

Ejemplo Página 11

Desarrollo Octave Página 12 y 13

Conclusión Página 14

Bibliografía Página 15

Introducción
En este taller debemos hacer una investigación sobre un método básico numérico para resolver ecuaciones del tipo f(x) = 0, donde la función f no es necesariamente una función lineal, ni cuadrática, e incluso no esun polinomio.
Antes de profundizar en uno, se explicará brevemente en qué consiste cada uno de ellos. Los tipos de métodos son los siguientes:

1.- Bisección: Es uno de los métodos más sencillos. Es un algoritmo de búsqueda de raíces que se ocupa de dividir el intervalo a la mitad y seleccionar el subintervalo que tiene la raíz.

2.- Newton-Raphson: algoritmo para encontrar aproximación delos ceros o raíces de una función real. Este también se utiliza para encontrar máximos y mínimos de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

3.- Punto Fijo: también conocido como método de aproximación sucesiva, ya que permite resolver ecuaciones que no son obligatoriamente lineales.

4.- De La Secante: método para encontrar los ceros de una función iterativa, (funcióniterativa: función que es compuesta consigo misma, de manera repetida, proceso que se llama iteración).

5.- Regula Falsi: (Regla falsa o falsa posición), método iterativo que resuelve ecuaciones no lineales, mezcla el método de bisección y el método de la secante.

El método que escogimos para desarrollar en este taller, es el método de Bisección, ya que este método se pueden ver mas fácil yclaras las formas de cómo se llega a los ceros de cada función, y la peculiaridad de la forma que usa a partir de de la división de intervalos a la mitad de la función y seleccionar el subintervalo que tiene la raíz.

Desarrollo
Elegir uno de los siguientes métodos:

Bisección.

Newton-Raphson

Punto fijo

De la secante.

Regula Falsi.

1) Explicar de que se trata elmétodo escogido.

2) ¿Qué problemas resuelve?

3) ¿En qué condiciones se puede aplicar?

4) ¿Por qué funciona? (Demostración).

5) Implementarlo en Octave, con un algoritmo.

6) Ejemplo del algoritmo utilizado.

Descripción general del método de Bisección.

Es un método numérico que busca aproximar soluciones en relativos pocos intentos, es decir, ahorra tiempo. Para poder usar estemétodo se necesita considerar una función continua en el intervalo correspondiente y que pase por el eje de las abscisas, por lo tanto, debe tener al menos una solución.

El método de bisección, se basa en el teorema del valor intermedio y en el teorema de Bolzano, a continuación se explican estos dos teoremas, la base para entender el método de Bisección.

Teorema de Bolzano:

El teoremade Bolzano es una propiedad de las funciones reales continuas definidas en un intervalo. El teorema afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.

El enunciado es el siguiente:



Demostración:

Suponemos que f(a)0 .Supongamos un conjunto M, que contiene todos los puntos X del intervalo [a,b] que verifican que f(x) ≤ 0. Ese conjunto tiene un supremo C puesto que M es compacto, por su definición. Ahora solo hay que demostrar que f(c)=o, por definición de K. Supongamos que f(c)≠0, esto implica que hay un intervalo (c-h, c+h) en el que f(x) y f(c) tienen el mismo signo. Esto no puede pasar, porque contradice la...