Teorema de la bisectriz

Teorema de la bisectriz


En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado, BA:AC = BD:DC
El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de lageometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.
En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que quedadividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.
O lo que es equivalente:
Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumplela proporción:

Demostración 1


Figura bz1 Demostración del teorema de la bisectriz aplicando la «Ley de senos».
Nomenclatura (correspondiente a la Figura bz1):Aplicando el teorema del seno al triángulo tenemos:
(bz01)
Los ángulos “y” y “π-y” son suplementarios, lo cual implica que , entonces aplicando ahora elteorema del seno al triángulo tenemos:
(bz02)
Dividiendo m.a.m. la ecuación (bz01) por la ecuación (bz02) y simplificando obtenemos: , ∎.1
Demostración 2
Dibujando desde Cuna línea paralela a la recta AD hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto E. El triángulo ACE es isósceles porque sus ángulos Cy E son congruentes:

porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AD y EC cortadas por la recta transversal AC

porque soncorrespondientes a las rectas paralelas AD y EC a las cuales corta la recta BE, además

porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.
Por la propiedad transitiva de la igualdadse tiene que

Por tanto los segmentos AC y AE son congruentes. Por el Teorema de Thales se mantiene la proporción:

y ya que AC y AE son congruentes, también se cumple que