teorema de moivre

Teoría de moivre
Un resultado importante utilizando definición de coordenadas polares es:
Teorema de Moivre: Sean dos números complejos:
Teorema de Moivre y raíces n-esimas de numeros complejossi"z" es un numero complejo y "n" es un numero entero positivo, entonces un numero complejo w es una raiz n-esima de "z" si w^n=z demostramos qu etodo numero complejo diferente de cero tiene nraicesn-esima diferentes. como los números reales esta contenidos en los numeros complejos, se deduce que todo numero real diferente de cero tiene n raices n-esima distintas (complejas). cuando "a" esunnumero real positivo y n=2 sabemos que son a^1/2 y -(a^1/2).
si en el teorema sobre productos y cocientes de numeros complejos hacemos z1 y z2 sean iguales al numero complejo
z=r(cos@+isen@)obtenemos.z^2=(r)(r(cos(@+@)+i(sen(@+@)))
=r^2(cos2@+isen2@)
si se aplica el teorema z^2 y z resultara
z^2(z)=(r^2(r))(cos(2@+@)+i(sen(2@+@))…
z^3=r^3(cos3@+i(sen3@))

APLICASIONES.
Esta fórmulapuede serutilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay queconvertirlo a formapolar.
Potencia
Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Raices
Para obtener las n raíces de un número complejo, se aplica:

donde k es un número enteroque va desde0 hasta n − 1, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las n raíces diferentes de z
La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier númerocomplejo (y enparticular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria)con latrigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar... [continua]...