Teorema de moivre

Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Potencia.
Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo porsí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x

Es decir,
(rx)n = (rn)n·x
Si escribimosel número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x)

De donde:
cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)nexpresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razonestrigonométricas del ángulo.
Ejemplo:
Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :
cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (41)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x + (43)·cos x·i3·sen3x+ (44)i4·sen4x = cos4x + 4·i·cos3x·sen x - 6·cos2x·sen2x - 4·i·cos x·sen3x + sen4x = (cos4x - 6·cos2·sen2x + sen4x) + (4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x)·i

Como dos complejos son iguales si y sólo silo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

cos 4x = cos4x - 6·cos2x·sen2x + sen4x
sen 4x = 4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x

Raíz n-ésima de un núnero complejo.

Raízn-ésima.
Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:

(sn)n·y = rx | | ==> | | sn = r  | | ==> || s = r1/n |
| | | | n·y = x + 2·k·pi , con k C Z | | | | y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z |
Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz n-ésima dez.

Teorema.
Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.
Demostración.
Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n...