Teorema de Pitagora

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusaes igual a lasuma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas





Teoremas de Euclides
 
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza,acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.
Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. Los Porismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y deproposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación se presentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y suproyección sobre ella.”
Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
 
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)
c = p + q
 
Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)

Luego;Que es lo mismo que:



De forma análoga se tiene queΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,
entonces

Que es lo mismo que:

 
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual alproducto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lo tanto,

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4

 
 
 

2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
 

 
 
Teorema de Euclides relativo a la altura
“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcionalgeométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.
Sea hc  (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)
Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a: 
A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, estesegundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.
Por lo tanto,  si   h2 = p • q    
entonces             
Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar h,
si p = 2 y q = 8
 

 
 

2) En la figura a la izquierda,determinar h,
si p = 3 y q = 12
 

 
 
La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

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