TEOREMA DE PITAGORAS


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
5. RELACIONES DEL TRIANGULO RECTÁNGULO Y TEOREMA DE PITÁGORAS
5.1 Triángulo Rectángulo

5.2 Teorema de Pitágoras

5.3 Razones o relaciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo


5.1 TRIÁNGULO RECTÁNGULO
La trigonometría, enfocada  en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante  siglos en topografía, navegación y astronomía.Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos".
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos.

Hipotenusa
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo.
Catetos
Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo.Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Teoremas

Del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.





De la altura
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen aésta.



APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Altura del triángulo equilátero


Lado de un triángulo equilátero inscrito


Diagonal del cuadrado






Lado de un cuadrado inscrito


Diagonal del rectángulo


Lado oblicuo del trapecio rectángulo









Altura del trapecio isósceles



Apotema de un polígono regular


Apotema del hexágono inscrito5.2 TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.






5.3 RAZONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:

Los ángulos con vérticeen  A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza  por que los lados de los ángulos agudos (α y γ)son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente alángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:


Si consideramos el ángulo α
Si consideramos el ángulo γ


cateto adyacente
cateto opuesto 
cateto adyacente 
cateto opuesto Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entredos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:
Funciones (razones)trigonométricas
Fundamentales
Recíprocas
sen
seno
cosec (csc)
cosecante
cos
coseno
sec
secante
tan (tg)
tangente
cotan (cotg)
cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:


Sea el ángulo BACde medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC.
Los lados BC y BA son los catetos y AC, la hipotenusa.
 
En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con...