Teorema de Pitagoras
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Publicado: 26 de junio de 2014
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Índice
[ocultar] 1 Historia
2 Designaciones convencionales
3 Demostraciones 3.1 China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jiu Zhang Suan Shu"
3.2Demostraciones supuestas de Pitágoras
3.3 Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos
3.4 Demostración de Pappus
3.5 Demostración de Bhaskara
3.6 Demostración de Leonardo da Vinci
3.7 Demostración de Garfield
4 Véase también
5 Notas
6 Bibliografía
7 Enlaces externos
Historia[editar]
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre laescuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén,datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Designaciones convencionales[editar]
Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
Lados (como segmento)
Lados (como longitud)
ÁngulosDemostraciones[editar]
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemáticoestadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y lascuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jiu Zhang Suan Shu"[editar]
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
El "Zhou Bi" es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree quePitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Jiu Zhang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Zhou Bi" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área delcuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de lasiguiente manera:
Ya que .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras[editar]
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura...
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Índice
[ocultar] 1 Historia
2 Designaciones convencionales
3 Demostraciones 3.1 China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jiu Zhang Suan Shu"
3.2Demostraciones supuestas de Pitágoras
3.3 Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos
3.4 Demostración de Pappus
3.5 Demostración de Bhaskara
3.6 Demostración de Leonardo da Vinci
3.7 Demostración de Garfield
4 Véase también
5 Notas
6 Bibliografía
7 Enlaces externos
Historia[editar]
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre laescuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén,datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Designaciones convencionales[editar]
Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
Lados (como segmento)
Lados (como longitud)
ÁngulosDemostraciones[editar]
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemáticoestadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y lascuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jiu Zhang Suan Shu"[editar]
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
El "Zhou Bi" es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree quePitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Jiu Zhang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Zhou Bi" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área delcuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de lasiguiente manera:
Ya que .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras[editar]
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura...
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