teorema de stokes
PROBLEMAS RESUELTOS
E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas
5 de diciembre de 2007
Capítulo 1
Problemas de Integración
45.- Sean γ : [a, b] −→ IR3 una curva regular y f : IR3 −→ IR diferenciable. Demostrar que
df = f (γ(b)) − f (γ(a)).
γ
Concluir que
γ
df es nula sobre cualquier curva cerrada.
Solución:
En primer lugar observemos quedf =
γ
γ
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 +
dx3 .
∂x1
∂x2
∂x3
Por otro lado, de la relación entre el elemento de longitud y los elementos de volumen
coordenados tenemos,
x
dxi = xi dt = i ||γ ||dt = Ti dl,
||γ ||
donde dl es el elemento de longitud y Ti son las componentes del vector tangente a la curva.
Por tanto, substituyendo en la integral, obtenemos
df =
γ
γ
b
=
a
∂f∂f
∂f
T1 dl +
T2 dl +
T3 dl =
∂x1
∂x2
∂x3
γ (t)
f (γ(t)),
||γ (t)||dt =
||γ (t)||
b
a
f, T dl =
γ
b
(f ◦ γ) (t)dt = f (γ(t)) = f (γ(b)) − f (γ(a)).
a
46.- Sea X el campo definido en IR3 − {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 = 0} por
X=
−y
∂
x
∂
+
.
x2 + y 2 ∂x x2 + y 2 ∂y
1
2
Problemas Resueltos
Demostrar que
(i) rot(X) = 0.
(ii) C(X, γ) = 0, dondeγ es una circunferencia paralela al plano xy y con centro en el eje z.
(iii) No puede existir una función f tal que X = f .
Solución:
(i) Calculamos el rotacional,
i
j
rot(X) =
∂
∂x
−y
x2 + y 2
k
∂
∂y
x
x2 + y 2
∂
∂z
0
x2 + y 2 − 2x2
x2 + y 2 − 2y 2
+
= (0, 0, 0).
2 + y 2 )2
(x
(x2 + y 2 )2
(ii) Una parametrización de γ en coordenadas cilíndricas es,
=
0,0,
γ(θ) = (R cos θ, R sen θ, z0 ), donde θ ∈ [0, 2π].
Luego, γ (θ) = (−R sen θ, R cos θ, 0) y el producto escalar restringido a la curva es
X, γ (θ) = 1.
π
Por tanto, C(X, γ) =
2π
X, γ (θ) dθ =
0
dθ = 2π = 0.
0
(iii) Supongamos que existe una función f tal que X = f . Entonces la circulación a través
de cualquier curva cerrada será nula. En particular, C(X, γ) = 0, donde γes la curva
que hemos considerado en el apartado anterior, lo que es una contradicción ya que hemos
demostrado que la circulación es no nula. Por tanto, el campo X no puede ser un campo
gradiente. Lo que ocurre en este caso es que el campo X es un campo diferenciable en
IR3 − {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 = 0} que no es un abierto con forma de estrella.
47.- Consideramos el campo de IR2
X =(x2 + 7y)
∂
∂
+ (−x + y sen y 2 ) .
∂x
∂y
Calcular la circulación de X sobre la frontera del triángulo de vértices (0, 2), (0, 0) y (1, 0).
Solución:
Primer método. La circulación a lo largo de la frontera del triángulo es la suma de las circulaciones en cada uno de los lados,
C(X, ∂T ) =
X, T1 dl +
α1
X, T2 dl +
α2
X, T3 dl.
α3
Teoremas integrales
3
Figura 1.1:Representación de T
Parametrizamos cada uno de los lados del triángulo y calculamos el vector tangente.
y = 0; α1 (t) = (t, 0), t ∈ [0, 1]; α1 (t) = (1, 0),
y = 2(1 − x); α2 (t) = (−t, 2(1 + t)), t ∈ [−1, 0]; α2 (t) = (−1, 2),
x = 0; α3 (t) = (0, −t), t ∈ [−2, 0]; α1 (t) = (0, −1).
1
C(X, ∂T ) =
0
X, α1 dt +
−1
0
1
0
X, α2 dt +
X, α3 dt =
−2
0
0
t2 dt +
01
t3
+
3 0
−t2 − 14(1 + t) + 2t + 4(1 + t) sen(2(1 + t))2 dt +
−1
t sen t2 dt =
−2
−t3
cos(2(1 + t))2
− 14t − 7t2 + t2 −
3
2
0
2 0
− cos t = −8.
2 −2
−1
Segundo método.
Calculamos la circulación aplicando el Teorema de Green.
(x2 + 7y) dx + (−x + y sen y 2 ) dy =
C(X, ∂T ) =
∂T
−8 dxdy = −8.
T
4
Problemas Resueltos
48.- Sea Xel campo de fuerzas definido en IR2 por
X = (2x + y cos(xy))
∂
∂
+ x cos(xy) .
∂x
∂y
Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en IR2 .
Solución:
Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el campo
sobre cualquier curva cerrada será nulo. Por tanto, supongamos que existe f : IR2 −→ IR
diferenciable tal que X =...
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