Teorema de Stokes

Teorema de Stokes

Teorema de Stokes
El teorema de Stokes es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la
integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada que esborde de una superficie
paramétrica simple con la integral de su rotacional en dicha superficie; y también el teorema de
Gauss de la divergencia, que puede verse como una versión tridimensional delteorema de
Green.
Teorema de Green

Divergencia

Integral de Línea

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece la relación entre una
integral de superficie sobre una superficieorientada S
y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C
en el espacio que forma la frontera o el borde de S.

Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N,acotada por una curva
cerrada simple, suave por segmentos C, con orientación positiva.
Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales
continuas en una regiónabierta que contiene a S y a C, entonces

Un Ejemplo del Teorema de Stokes
• Sea C el triangulo situado en el plano . Evaluar
donde

Solución Usando el teorema de Stokes,
comenzamos encontrandoel rotacional de F.

Aplicación del Teorema de Stokes

•Considerando

, usando la evaluación de una integral de flujo.

Aplicación del Teorema de Stokes

Aplicación del Teorema de StokesUna Aplicación del Teorema de Stokes
Un liquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2,
de manera que su movimiento se describe por el campo
de velocidad
como se muestra en lafigura.
Hallar

Aplicación del rotacional

•donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.

 Solución: El rotacional de F esta dado por

Aplicación del rotacional
Mostramos que eldesarrollo de la solución del rotacional se da de esta
manera:

=

=

=

=

Aplicación del rotacional

=

=

=

Aplicación del rotacional
Sabemos que
tienen exponente 1,...