TEOREMA DE TALES DE MILETO

TEOREMA DE TALES DE MILETO
LOS DOS TEOREMAS DE TALES:
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales. El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("LOS triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de loscircuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales DETERMINADOS por las paralelas, son proporcionales.PRIMER TEOREMA:
Una aplicación del teorema de Tales.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El PRIMER teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela acualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el PRIMER teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación delteorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.


COROLARIO:
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo semantiene CONSTANTE en el otro.
Por ejemplo, en la FIGURA se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, secumple que:
Este corolario es la BASE de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del PRIMER teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otravariante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que DETERMINAN en ellas son proporcionales.



SEGUNDO TEOREMA
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en elsiguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

DEMOSTRACION:
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante yrecto.
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será CONSTANTE y recto. Los triángulos AOB y BOC son isósceles. Los triángulos AOB y BOC son isósceles. En la circunferencia de CENTRO O y RADIO los segmentos OA , OB y OC son iguales por ser todos RADIOS de la misma circunferencia. Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es: Dividiendo ambos...