Teorema Del Envolvente

Teorema de la Envolvente

Introducción.

Para adquirir una idea intuitiva acerca de la utilidad del Teorema de la Envolvente, vamos a comenzar viendo la aplicación del Teorema al ya conocidoproblema de la maximización de la utilidad del consumidor.

Así, suponemos que un individuo tiene una función de utilidad U(x,y) y enfrenta Px, Py e I (precio del bien x, precio del bien e ingreso,respectivamente).

Entonces, planteamos y resolvemos el problema, tal cual lo hacemos usualmente:

Max U(x,y) sa Px.x + Py.y = I



x*(Px, Py, I)
y*(Px, Py, I)V(Px, Py, I) = U(x*(Px, Py, I), y*(Px, Py, I))

Presentación del teorema en forma más general.

El citado teorema debe su popularidad a que, justamente, puede aplicarse a una gran variedad deproblemas (además del visto en el punto anterior). Es por esto, que ahora lo plantearemos de forma más general, para luego sí poder utilizarlo en diferentes situaciones.

El problema de optimizaciónahora será:

Max z= f (x, y; ) sa G (x ,y; ) = 0

Para aclarar este planteo, procederemos a definir cada una de las variables utilizadas y entre paréntesis diremos a quecorresponde en el ejercicio de la maximización de la utilidad del consumidor visto en la introducción de este apunte. Así:

z: es la variable que maximizamos (nivel de utilidad)
f: es la función objetivo (U(x,y) )
x e y: son las variables de elección (cantidad de bienes x e y consumidos)
G: es la restricción tal cual la reexpresamos para colocarla en el lagrangiano
: es una variable exógena (podríaser Px, Py o I)

Es decir, que tenemos nuevamente una función objetivo la cual maximizamos. En esta nueva formulación, la función objetivo, además de depender de las variables de elección, tambiéndepende de una variable exógena  (recordemos que para algunos problemas, como el visto en la introducción, podría z no depender de , pero la colocamos porque estamos planteando el problema de una...