Teorema Fundamental De Calculo

UNIDAD 1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

1.1 MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS.
1.2 NOTACIÓN SUMATORIA.
1.3 SUMAS DE RIEMANN.
1.4 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA.
1.5 TEOREMA DE EXISTENCIA.
1.6 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
1.7 FUNCIÓN PRIMITIVA.
1.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
1.9 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.
1.10. INTEGRALES IMPROPIAS.

UNIDAD 1. TEOREMAFUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

1.1 MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS.

Amorfa= sin forma determinada

Actividad 1
Ejercicio: A partir del análisis de las figuras planas amorfas propuestas, mencione un método de solución que permita determinar el área de cada una de ellas.
1
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3
4
5
1
2
3
4
5

Solución: |

Repite el ejercicio, calcula el área de las siguientes figuraslimitadas por las curvas en el plano:



Solución: |

NOTA. Cuando queremos calcular el área de una figura geométrica tal como: rectángulo, triángulo, paralelogramo, etc. lo que prácticamente hacemos es aplicar alguna fórmula algebraica que nos permita realizar el cálculo del área de la figura geométrica correspondiente, pero si deseamos calcular el área A bajo la gráfica de una funcióncontinua no negativa f(x) sobre un intervalo [a,b], tal como la que se demuestra en la siguiente figura.

Entonces el problema resulta algo más complicado, en un principio, algo que nos puede ocurrir es que, si en lugar de calcular el área A en forma exacta aproximamos el valor de A, entonces este nuevo problema pudiera ser más fácil de resolver.

Una manera de aproximar el área A es mediante eltrazo de una cuadricula sobre el plano donde se encuentra el gráfico de f(x) como se muestra en la siguiente figura.

Después de dibujar la cuadricula realizamos la suma del área de los cuadrados que quedan “dentro” de la gráfica y entre los tres segmentos a los lados del área por calcular, una mejor aproximación al valor de A la obtendremos si hacemos una cuadricula más “fina” que la cuadriculaanterior, es decir, una nueva cuadrícula donde los cuadrados tengan lado menor que el lado de un cuadrado en la cuadricula anterior y nuevamente sumar las áreas de todos los cuadrados que queden dentro de la gráfica y los tres segmentos a los lados del área A por calcular, desde luego el proceso de la cuadricula podría continuar para conseguir obteniendo una mejor aproximación al área exacta A,aunque como vemos, este proceso es tedioso.

Otra manera de realizar la aproximación al área A será mediante la formación de rectángulos inscritos y circunscritos sobre la gráfica de f(x) tal como se muestra en la siguiente figura

Estos rectángulos se forma de la siguiente manera, se divide el intervalo [a,b] en “n” subintervalos de extremos.

1.2 NOTACIÓN SUMATORIA.

Cuando tenemos una sumaen la cual hay dos o más sumandos, que se repiten o que presentan cierto patrón, se puede abreviar usando la notación sigma.

La suma de n términos a1, a2, a3, …,an se escribe
Donde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma, y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma.Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es permitido.

Ejemplos:

1.
2.
3.
4.
5.

Observemos que (1) y (2), que una misma suma se puede representar de maneras diferentes mediante la notación sigma.

Aunque se puede usar cualquier variable como índice de suma, se suelen usar i, j y k.

Actividad 2Ejercicios: Hallar la suma de:

1.

2.

3.

4.

5.

Actividad 3
Ejercicios: Usar la notación sigma para expresar la suma.
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante).
1....