teorema fundamental del calculo

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.
Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme", y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la partede adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”. La suma del riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una serie de fórmulas para la aproximación del área total bajo la gráfica de la curva.


Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar lasfórmulas de otras figuras.

Para un polígono irregular (figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por triángulos.

1.2 Notación sumatoria.
La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado.

Notación Sigma.
El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n oincluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma ( Σ ),(sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hastaalcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:


Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:











1.3 Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muyútil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene unmargen de error muy grande.
Introducción
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann
Dada f(x) en el intervalo [a,b] paraencontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:


La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:


Dondehaciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.


Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:


Sabiendo que:


Podemos obtener lassiguientes igualdades:

Representación.
Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:

Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura comúny de alturas situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f

Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de losrectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

1.4Definición de Integral Definida
La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene...