Teorema

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de muestreo

Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon)

Hablamos de muestreo periódico de una señal analógica cuando tomamos mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo cuando se graba una señal de audio a la PC mediante una placa de sonido, el conversor A/D de la PC estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó 44 kHz, denominada frecuencia demuestreo.
Es evidente que si la frecuencia de muestreo es muy baja, es decir mediciones demasiado espaciadas, se perderán “detalles” de la señal original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver. En las figuras A-B-C-D hemos representado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A y B lasseñales aparecen correctamente representadas por las muestras, en C la velocidad de muestreo parece insuficiente, y en D las muestras representan una señal como la de B, es decir la señal de D es un “alias” de la señal de B. Este efecto se denomina en inglés “aliasing”.

El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el“aliasing” debe ser.

fm>2.BW

con fm: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear (BW=fmax-fmin)
Para señales con fmin = 0, se puede expresar como

fm>2.fmax

Para demostrar este teorema debemos aplicar conceptos básicos de series de Fourier y trigonometría.

Conceptos básicos de series de fourier:

Una función s(t) periódica en el tiempo, con período T, puedeser representada por una sumatoria de funciones senoidales del tipo
s(t)=c0+c1.cos(2.π.f.t+φ1)+ c2.cos(2.π.2.f.t+φ2)+ c3.cos(2.π.3.f.t+φ3)+...+ cn.cos(2.π.n.f.t+φn)
=Σck.cos(2.π.k.f.t+φk) (k=0...n) [Ec. 1]
es decir una serie de componentes cosenoidales de amplitud ck, fase φk y frecuencia fk=k.f múltiplo de la frecuencia fundamental f=1/T (la de la función representada). Es laconocida serie de Fourier.

La representación de estas amplitudes ck sobre un diagrama Amplitud vs frecuencia es lo que denominamos diagrama espectral o espectro de frecuencia de la señal. La componente c0 es la componente de frecuencia 0 (componente de continua).
Podemos hablar así de una función S(f), con dominio 0, f, 2f, 3f...nf e imagen c0, c1, c2, c3... cn.

La señal analógica (que queremosmuestrear) en caso de ser periódica tendrá un espectro que será una suma de componentes senoidales de frecuencias espaciadas a intervalos f=1/T o una integral de componentes senoidales de frecuencias infinitamente próximas entre sí

Por ejemplo el espectro de amplitud de una señal s(t) cuadrada sigue una ley S(f)=1/f (pero con las componentes pares c2, c4, c6... nulas)

Este espectro esteóricamente infinito (ancho de banda infinito). Las señales reales ocupan un ancho de banda finito. Por ejemplo una señal de audio ocupa un rango de frecuencias entre unos 20Hz y 15 kHz.

Nota: Si una señal no es periódica, en vez de una sumatoria de componentes espaciadas a intervalos 1/T, se tiene una integral (no periódica es períodoT infinito, espaciamiento 1/T nulo). La forma de calcular laS(f) de una función no periódica en el tiempo es mediante la Transformada de Fourier.
Aún así, si una señal es no periódica, sus componentes ocuparán una cierta banda de frecuencias.

Nos interesa en particular el espectro de la función impulso repetitivo, ya que la señal obtenida como muestreo periódico de una señal analógica equivale al producto de dicha señal analógica por la función impulsorepetitivo.

La función impulso (no repetitivo) d(t1) es aquella que vale 1 en t = t1 y 0 en t ≠ t1

La función impulso repetitivo es dr(t)=d(0)+d(T)+d(2.T)+ d(3.T) .... es decir impulsos espaciados T segundos en el tiempo, o lo que es lo mismo con frecuencia de repetición f=1/T.

Esta señal tiene un espectro
Dr(f)=k.[d(0)+d(f)+d(2.f)+d(3.f)+.....], con k cte.
Es decir (sin considerar la...
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