teorema

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Semejanza. Teorema de Pitágoras.

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:

• Aplicar correctamente el
Teorema de Tales.

• Reconocer y dibujar figuras
semejantes.

• Aplicar los criterios de

semejanza de triángulos.

• Calcular la razón de semejanza.
• Utilizar la relación entre las

áreas de figuras semejantes.

• Calcular distancias en mapas y
planos.

• Construirfiguras a partir de una
escala.

• Resolver problemas geométricos
aplicando el Teorema de
Pitágoras.

Antes de empezar
1.Teorema de Tales..…………………………pág. 118
Enunciado y posición de Tales
Aplicaciones
2.Semejanza de figuras....................pág.120
Figuras semejantes
Semejanza de triángulos
Relación entre longitudes
Relación entre áreas
3.Ampliación y reducción de figuras..pág.124
Ampliación, reducción y escala
4.Teorema de Pitágoras……………………pág. 126
Enunciado
Aplicaciones
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS 2º ESO

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116

MATEMÁTICAS 2º ESO

Semejanza. Teorema de Pitágoras.

Antes de empezar
Aplicando la semejanza aprenderás, entre otras cosas, a medir alturas deedificios con un
espejo sin necesidad de subirte a ellos. También puedes hacerlo utilizando sus sombras...

Investiga
En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23
cm de diámetro y es para una persona.
Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm
de diámetro, justo el doble que la
pequeña, pero dicen que es para 4
personas. ¿Nos están engañando?

MATEMÁTICAS 2º ESO

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Semejanza. Teorema dePitágoras.
1. Teorema de Tales
Enunciado y posición de Tales

Si varias rectas paralelas son cortadas por dos
secantes r y s, los segmentos que determinan
dichas
paralelas
en
la
recta
r
son
proporcionales a los segmentos que determinan
en s.
Tales de Mileto fue un filósofo y
matemático griego que vivió en el siglo VI
a. C. Calculó las alturas de las pirámides
de Egipto comparandosus sombras con
las de un bastón

Los triángulos ABC y AB'C' comparten el ángulo A,
están encajados. Los lados opuestos al ángulo A son
paralelos. En estos casos decimos que los dos
triángulos están en posición de Tales:
Cuando
dos
triángulos
se
pueden colocar en
posición de Tales,
sus lados son
proporcionales:

Dos
pares
de
segmentos
son
proporcionales si la razón entre losdos
primeros (cociente entre sus longitudes)
coincide con la razón entre los dos
últimos.

Aplicaciones
El Teorema de Tales nos permite dividir un
segmento en partes iguales (cinco en este caso):

Un segmento, de longitud x, es cuarto
proporcional a otros tres de longitudes
a, b y c si se verifica que:
Trazamos una semirrecta a partir de A. Sobre ella marcamos, con el
compás, 5segmentos iguales, de la longitud que queramos. Unimos la
última marca con B y trazamos paralelas, una por cada marca de la
semirrecta.

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MATEMÁTICAS 2º ESO

a c
=
b x

Semejanza. Teorema de Pitágoras.
EJERCICIOS resueltos
1.

Usa el teorema de Tales para calcular x.
Los dos triángulos están en posición de Tales, por lo que sus
lados son proporcionales:

5 3,9
=
; 5 ⋅ x = 3,4 ⋅3,9 ;
3,4 x

x=

3,4 ⋅ 3,9
;
5

x = 2,6
2.

Calcula el valor de x.

Los dos triángulos también están en posición
de Tales. Sus lados son proporcionales:

x 4,5 + 2,4
4,7 ⋅ 6,9
=
; 4,5 ⋅ x = 4,7 ⋅ (4,5 + 2,4) ; x =
;
4,7
4,5
4,5
x = 7,2

3.

Divide el segmento en 7 partes iguales.

Se traza una semirrecta a partir de uno
de los extremos del segmento. Se marcan
enella, con el compás, 7 segmentos iguales,
de la longitud que se quiera. Se unen la última
marca y el otro extremo del segmento.

Trazamos paralelas, una por cada marca,
y el segmento queda dividido en 7 partes
iguales.

MATEMÁTICAS 2º ESO

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Semejanza. Teorema de Pitágoras.
2. Semejanza de figuras
Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si sus segmentos
correspondientes...