teoria calculo avanzado

Tema 2
Resoluci´
on de Ecuaciones
No Lineales
´Indice
1. Introducci´on
2. M´etodo de Bisecci´on
2.1 Algoritmo del M´etodo de Bisecci´on
2.2 An´alisis de M´etodo de Bisecci´on
3. M´etodo de Regula-Falsi
3.1 Algoritmo del M´etodo de Regula-Falsi
3.2 An´alisis de M´etodo de Regula-Falsi
4. M´etodo de la Secante
5. M´etodo de Newton-Raphson
6. M´etodos Iterativos
6.1 Algoritmo de los M´etodosIterativos
6.2 Interpretaci´on Gr´afica
6.3 Convergencia de los M´etodos Iterativos
6.4 Convergencia Global del M´etodo de Newton-Raphson
6.5 Aplicaci´on del Teorema de convergencia global
7. Aceleraci´on de la convergencia
7.1 Aceleraci´on de Aitken
7.2 Aceleraci´on de Steffensen

1

1

Introducci´
on

Problema: Oscilaci´on amortiguada de una estructura
Supongamos que la oscilaci´on de unaestructura, dotada de un sistema de
amortiguaci´on, ante un movimiento oscilatorio, viene dada por la funci´on
t

y(t) = 10 e 2 cos 2t.

¿En qu´e instante t la posici´on de la estructura es y(t) = 4?
Se trata de resolver la ecuaci´on
t

10 e 2 cos 2t = 4.
de inc´ognita t.
Este problema es imposible de resolver por medios anal´ıticos sencillos.
Sea f : Ω ⊂ R → R. Consideraremos la ecuaci´
on en unavariable
f (x) = 0.
Definici´
on 1 El n´
umero s ∈ Ω se dice una soluci´
on de la ecuaci´
on si
se verifica que f (s) = 0, es decir, si s es una ra´ız de la funci´on f .
2

2

M´
etodo de Bisecci´
on

2.1

Algoritmo del m´
etodo de Bisecci´
on

El m´etodo de Bisecci´on para la resoluci´0on de la ecuaci´on f (x) = 0 se basa
en el Teorema de Bolzano que nos asegura la existencia de, al menos, una
ra´ız deuna funci´on f (x) en un cierto intervalo [a, b], bajo ciertas condiciones.

Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] → R una funci´on continua en [a, b]
tal que f (a)f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Supongamos que f (x) es continua y cambia de signo en los extremos de [a, b].
Bas´andonos en el anterior teorema, podemos aproximar una soluci´on de la
ecuaci´on f (x) = 0dividiendo el intervalo inicial en dos subintervalos iguales
y eligiendo aquel en el que f (x) cambia de signo. Despu´es se repite el proceso
hasta que se verifique alg´
un criterio de parada.

Algoritmo del M´
etodo de Bisecci´
on
1. a0 = a, b0 = b
2. Para n = 0, 1, . . ., hacer:
1
◦ mn = (an + bn )
2
◦ Si f (an )f (mn ) < 0, tomar an+1 = an , bn+1 = mn ; en caso
contrario, tomar an+1 = mn , bn+1 = bn.

Ejemplo
Resolver mediante al algoritmo de bisecci´on la ecuaci´on
ex − x = 0
en [0, 1].
3

2.2

An´
alisis del M´
etodo de Bisecci´
on

C´
alculo previo del n´
umero de interaciones
Recordemos que

Se define el error absoluto de una aproximaci´on s respecto del valor
exacto s como
e = |s − s|.

Para garantizar que el error del M´etodo de Bisecci´on sea menor o igual que
un cierto valor detolerancia ε se aplica el siguiente resultado:
Teorema1 (Error absoluto m´
aximo del M´
etodo de Bisecci´
on)
Sea f : [a, b] → R una funci´on continua en [a, b] tal que f (a)f (b) < 0
y f (s) = 0, para alg´
un s ∈ (a, b). Sea {mn }n=0,1,... la sucesi´on de aproximaciones de s obtenidas mediante el M´etodo de Bisecci´on y en = |s − mn |, para
n = 0, 1, . . .. Entonces
en ≤

b−a
.
2n+1

Esquema deDemostraci´on

4

1
en = |mn − s| ≤ mn − an = bn − mn = (bn − an ) =
2
1
(bn−1 − an−1 ) = . . . =
22
1
(b0 − a0 ).
n+1
2
Luego
en ≤

b.a
.
2n+1

Por tanto, para garantizar que en < ε, se debe verificar que
b−a
ε − 1.
log2

log
n≥

Ejemplo: Resoluci´on aproximada del problema de la oscilaci´on amortiguada
de una estructura
Se trata de resolver la ecuaci´on
t

f (t) = 10 e 2 cos 2t − 4 = 0.
Supongamosque deseamos que en ≤ ε = 10−3 . Como f (0) = 6 > 0 y
f (1) = −6.524 < 0 entonces podemos tomar [a, b] = [0, 1].

5

El n´
umero de iteraciones que debemos realizar para asegurar la tolerancia de
error considerada es:
1
10−3 − 1 ≈ 8.966,
log2

log
n≥
es decir, n = 9.

3
3.1

M´
etodo de Regula-Falsi
Algoritmo del M´
etodo de Regula-Falsi

Se trata de realizar un refinamiento del M´etodo de de...