Teoria de grafos

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Teoría de grafos

6.1 Elementos y Características de los Grafos

En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) quepueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).

Definiremos un grafo como un sistema matemático abstracto. No obstante, para desarrollar el conocimiento de los mismos de forma intuitiva los representaremos mediante diagramas. A estos diagramas les daremos, también, el nombre de grafos, aun cuando lostérminos y definiciones no estén limitados únicamente a los grafos que pueden representarse mediante diagramas. Un grafo es un conjunto de puntos y un conjunto de líneas donde cada línea une un punto con otro.

Un grafo G está conformado por un conjunto no vacío V de vértices o nodos, y un conjunto E de arcos o aristas, tal que cada e ∈ E tiene un par (v1, v2) ∈ V × V asociado.

En tal caso,decimos que se conecta v1 con v2. Note que dos arcos diferentes pueden conectar al mismo par de vértices.
Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.
Estructuras de datos en la representación de grafos
Grafo(estructura de datos)
Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienenun eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Estructura de lista

Grafo de lista de adyacencia.
* lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.[1]
* lista de adyacencia - Cada vérticetiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.
En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vértice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De estaforma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. Encaso de que el grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta.
Estructuras matriciales
* Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
* Matriz de adyacencia - El grafo está representado por unamatriz cuadrada M de tamaño n2, donde n es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento mx,y es 1, de lo contrario, es 0.
Vértice
Los vértices constituyen uno de los dos elementos que forman un grafo. Como ocurre con el resto de las ramas de las matemáticas, a la Teoría de Grafos no le interesa saber qué son los vértices.
Diferentes...
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