Teoria De Grupos- Programacion En Tiempo Real

TEORÍA DE GRUPOS
SEMIGRUPOS
S ≠0 es semigrupo si está dotado de una operación binaria * (interna) que verifica la propiedad Asociativa: a * (b * c) = (a * b) * c diremos que es un semigrupo conmutativo si se verifica, además, la propiedad Conmutativa: a * b = b *a
Ejemplos: Son semigrupos conmutativos:
• El conjunto N provisto de la suma (N, +).
• El conjunto Z provisto del producto (Z, ・).
Ejemplos:
• N con la operación a * b = ab no es un semigrupo.
• Z con la operación de sustracción tampoco es semigrupo.
Ejemplo: (P(A),*) y (P(A), ∩) son dos semigrupos conmutativos.

Ejemplos:
• Si A ≠0 y AA = {f | f : A → A}, entonces (AA, ◦) es un semigrupo no conmutativo.
• (Mn, ・) es un semigrupo no conmutativo.
SUBSEMIGRUPOS
Dado un semigrupo (S, *) y un subconjunto A * S diremos que es un subsemigrupo si restringiendo la operación * a los elementos de A se sigue teniendo una estructura de semigrupo, es decir (A, *) es también semigrupo. Es evidente que la ´única condición para que A sea subsemigrupo de S es que la restricción de *A sea una operación. Cuando un conjunto cumple esta condición se suele decir que A es cerrado para la operación. En la figura, A no sería subsemigrupo de S.

Ejemplos:
• Dado el semigrupo (Z,+) El subconjunto 2Z de los enteros pares es subsemigrupo, en cambio el conjunto de los impares no lo es.
• En el semigrupo (AA, ◦) el subconjunto de las funciones biyectivas S(A) es un subsemigrupo.
MONOIDES
Dado un semigrupo (S, ∗) diremos que tiene elemento neutro si existe un elemento distinguido e * S que verifica e*a = a*e = a *a * S.
Teorema 1 En todo semigrupo, el elemento neutro, si existe, debe ser único. A un semigrupo con elemento neutro se le llama monoide. Si además el semigrupo es conmutativo se le llama monoide conmutativo.
Ejercicio: Determina cuáles de los ejemplos de semigrupos ya vistos son también monoides.
Ejemplos:
• La estructura (N,+) es monoide, en cambio (Z+,+) no lo es, puesto que 0 € Z+.
• Las matrices... [continua]

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